Dadas as funções f e g em R, definidas por f(x)=3 x-2 e g(x)=2 x+5, determine a função inversa de g circ f.

Solução

  1. processo
Determinamos inicialmente g circ f e em seguida (g circ f)^-1 :
(g circ f)(x)=g(f(x))=2 f(x)+5=2(3 x-2)+5=6 x+1
Aplicando a regra prática, temos: x=6 y+1 Rightarrow y=x-16; portanto, (g circ f)^-1(x)=x-16.
2% processo
Determinamos inicialmente f^-1 e g^-1 e em seguida f^-1 circ g^-1, pois (g circ f)^-1=f^-1 circ g^-1.
Aplicando a regra prática em f(x)=3 x-2 e g(x)=2 x+5, temos:
f^-1(x)=x+23 e g^-1(x)=x-52
(f^-1 circ g^-1)(x)=f^-1(g^-1(x))=g^-1(x)+23=x-52+23=x-16
portanto, (g circ f)^-1(x)=x-16.
Resposta: (g circ f): R R
(g circ f)^-1(x)=x-16

Passo 1

O enunciado dá duas funções em R:
f(x)=3x-2 e g(x)=2x+5,
e pede a inversa de gcirc f.
O conteúdo envolvido é composição de funções e cálculo de função inversa.
Para resolver, vamos primeiro compor gcirc f e depois inverter essa expressão.

Passo 2

Calculamos a composição:
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r)=2l(3x-2r)+5=6x-4+5=6x+1

Passo 3

Para achar a inversa, chamamos y=(gcirc f)(x)=6x+1 e isolamos x:
y-1=6x
x=y-16
Trocando y por x para escrever a inversa, obtemos
(gcirc f)^-1(x)=x-16

Resposta

(gcirc f)^-1(x)=x-16

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