Ex. 1.8 - Dado uma equação quadrática com raízes mostre que:
a) A soma das raízes é igual a , i.e., .
b) O produto das raízes é igual a .)

Passo 1

O enunciado dá uma equação quadrática a x^2+b x+c=0 cujas raízes são x1 e x2. Para mostrar as fórmulas pedidas, vamos usar a fatoração do polinômio a partir das raízes e depois comparar coeficientes (método das Fórmulas de Viète).

Passo 2

Como x1 e x2 são raízes, o polinômio pode ser escrito como
a,(x - x1)(x - x2) = 0
Expandindo o produto, fica
al(x^2 - (x1+x2),x + x1,x2r) = 0

Passo 3

Agora comparamos com a forma padrão a x^2+b x+c=0. O coeficiente de x no polinômio expandido é -a(x1+x2), então
-a,(x1+x2) = b
e daí segue
x1+x2 = -ba

Passo 4

O termo constante no mesmo polinômio expandido é a,x1,x2, logo
a,x1,x2 = c
e daí
x1,x2 = ca

Resposta

x1+x2 = -ba e x1,x2 = ca.

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