24.5 Dado sen x=35, x no quadrante I, e cos y=23, y no quadrante IV, encontre (a) cos (x+y) ;(b) tg(x+y); (c) o quadrante no qual x+y deve existir.
(a) Da fórmula da soma para cossenos, cos (x+y)=cos x cos y-sen x sen y. sen x e cos y são dados; cos x e sen y devem ser determinados.
Como sen x=3 / 5 e x está no quadrante I , cos x=+raiz1-(3 / 5)^2=4 / 5. Como cos y=2 / 3 e y está no quadrante IV, sen y=-raiz1-(2 / 3)^2=-(raiz5) / 3. Logo,
cos (x+y)=cos x cos y-sen x sen y=45 cdot 23-35(-raiz53)=8+3 raiz515
(b) tg(x+y) pode ser encontrada a partir da fórmula da soma para tangentes, usando as quantidades dadas e observando que
r tg x=sen xcos x=3 / 54 / 5=34 e tg y=sen ycos y=-(raiz5) / 32 / 3=-raiz52 Logo tg(x+y)=tg x+tg y1-tg x tg y=34+(-raiz52)1-34(-raiz52)=6-4 raiz58+3 raiz5
(c) Como cos (x+y) é positivo e tg(x+y) é negativo, x+y deve pertencer ao quadrante IV.

Passo 1

O enunciado nos dá sen x = tfrac35 com x no quadrante I e cos y = tfrac23 com y no quadrante IV, e pede:
(a) cos(x+y),
(b) tg(x+y),
(c) o quadrante de x+y.
Vamos usar as fórmulas de soma de ângulos e as identidades trigonométricas para completar as razões faltantes.

Passo 2

Determinar cos x e sen y a partir dos dados:
Como sen x = tfrac35 e x está no quadrante I,
cos x = +raiz1 - sen^2 x = raiz1 - l(tfrac35r)^2 = tfrac45
Como cos y = tfrac23 e y está no quadrante IV,
sen y = -raiz1 - cos^2 y = -raiz1 - l(tfrac23r)^2 = -raiz53

Passo 3

Calcular cos(x+y) pela fórmula
cos(x+y) = cos x cos y - sen x sen y
Substituindo os valores:
cos x cos y = 45cdot23 = 815, sen x sen y = 35cdotl(-raiz53r) = -raiz55
Logo,
cos(x+y) = 815 - l(-raiz55r) = 815 + 3raiz515 = 8 + 3raiz515

Passo 4

Calcular tg(x+y) usando a fórmula
tg(x+y) = tg x + tg y1 - tg x,tg y
Primeiro,
tg x = sen xcos x = tfrac35tfrac45 = 34, tg y = sen ycos y = -tfracraiz53tfrac23 = -raiz52
Então,
tg(x+y) = tfrac34 + l(-tfracraiz52r) 1 - tfrac34l(-tfracraiz52r) = tfrac3-2raiz541 + tfrac3raiz58 = 3-2raiz54;88+3raiz5 = 6 - 4raiz58 + 3raiz5

Passo 5

Determinar o quadrante de x+y:
cos(x+y)=8+3raiz515>0 e tg(x+y)=6-4raiz58+3raiz5<0.
Cos positivo e tangente negativa indicam o quadrante IV.

Resposta

(a) 8 + 3raiz515
(b) 6 - 4raiz58 + 3raiz5
(c) Quadrante IV

Exercícios de Livros Relacionados