Os dados seguintes referem-se à mortalidade infantil dos estados da região Nordeste e indicam o número de crianças que morrem no primeiro ano de vida entre 1000 crianças nascidas vivas.
Alagoas 64,4
Bahia 44,7
Ceará 51,6
Maranhão 52,8
Paraíba 59,4
Pernambuco 57,5
Piauí 44,4
Rio Grande do Norte 47,9
Sergipe 44,5
Fonte: Almanaque Abril, 2002.
a) Encontre a variância dos dados apresentados.
b) Admitindo-se que um programa do governo consiga reduzir 15% das taxas de mortalidade apresentadas, qual será o novo valor da variância?

Passo 1

Temos N=9 taxas de mortalidade infantil (por mil nascidos vivos) dos estados da região Nordeste. O problema pede:
a) calcular a variância desses 9 valores;
b) supor que todas as taxas sejam reduzidas em 15% e encontrar a nova variância.
Para isso vamos usar:
  1. A média
bar x = 1Nsumi=1^Nxi
  1. A variância populacional
sigma^2 = 1Nsumi=1^N(xi - bar x)^2
  1. A propriedade de escala: se yi = a,xi, então
Var(y) = a^2,Var(x)

Passo 2

Calcular a média das taxas. A soma dos valores é
sumi=1^9 xi = 64,4 + 44,7 + 51,6 + 52,8 + 59,4 + 57,5 + 44,4 + 47,9 + 44,5 = 467,2
Logo
bar x = 467,29 approx 51,91

Passo 3

Aplicar a definição de variância populacional. Calcula-se
sumi=1^9(xi - bar x)^2 approx 423,61
(é o somatório dos quadrados dos desvios de cada taxa em relação a 51,91). Portanto
sigma^2 = 423,619 approx 47,07

Passo 4

Se o programa reduz cada taxa em 15%, então o fator de escala é
a = 1 - 0,15 = 0,85
Pela propriedade de escala, a nova variância será
sigma'^2 = a^2,sigma^2 = (0,85)^2 times 47,07 approx 0,7225 times 47,07 approx 34,01

Resposta

a) A variância dos dados originais é aproximadamente 47,07.
b) Com redução de 15%, a variância passa a ser aproximadamente 34,01.

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