Dados e , vértices consecutivos de um quadrado, determine os outros dois vértices.
17. Dados e , extremidades da diagonal de um quadrado, calcule as coordenadas dos vértices e , sabendo que .
Passo 1
Temos os vértices consecutivos e de um quadrado. O lado do quadrado é o vetor
Para achar os outros dois vértices, basta adicionar a esse vetor sua perpendicular de mesmo comprimento.
Passo 2
O vetor perpendicular a AB=(-1,1) de mesma norma é dado pelas rotações de pm90^circ:
v+90 = (-1,-1), v-90 = (1,1)
Cada um gera uma configuração válida de quadrado (horário ou anti-horário).
Passo 3
Somando v+90 a B e a A, obtemos uma das soluções:
C = B + v+90 = (4,-1) + (-1,-1) = (3,-2),
D = A + v+90 = (5,-2) + (-1,-1) = (4,-3)
Passo 4
Somando v-90 a B e a A, obtemos a outra solução:
C' = B + v-90 = (4,-1) + (1,1) = (5,0),
D' = A + v-90 = (5,-2) + (1,1) = (6,-1)
Passo 5
Agora, para A(1,2) e C(3,-4), que são extremidades da diagonal, o centro do quadrado é o ponto médio
M = l(tfrac1+32,;tfrac2 + (-4)2r) = (2,-1)
O vetor de uma metade da diagonal é
MA = A - M = (-1,,3)
Passo 6
A outra diagonal é perpendicular e de mesmo comprimento que MA. As rotações de pm90^circ de MA=(-1,3) são
v+90 = (-3,-1), v-90 = (3,1)
Passo 7
Os vértices B e D ficam em
B = M + v, D = M - v,
onde escolhemos v de modo que xB > xD. Tomando v = (3,1), temos
B = (2,-1)+(3,1) = (5,0), D = (2,-1)-(3,1) = (-1,-2)
Resposta
B(5,0), D(-1,-2)
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 7: Geometria analítica - 6ª Edição - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 17