Dados A(5,-2) e B(4,-1), vértices consecutivos de um quadrado, determine os outros dois vértices.
17. Dados A(1,2) e C(3,-4), extremidades da diagonal de um quadrado, calcule as coordenadas dos vértices B e D, sabendo que xB>xD.

Passo 1

Temos os vértices consecutivos A(5,-2) e B(4,-1) de um quadrado. O lado do quadrado é o vetor
AB = B - A = (-1,;1)
Para achar os outros dois vértices, basta adicionar a esse vetor sua perpendicular de mesmo comprimento.

Passo 2

O vetor perpendicular a AB=(-1,1) de mesma norma é dado pelas rotações de pm90^circ:
v+90 = (-1,-1), v-90 = (1,1)
Cada um gera uma configuração válida de quadrado (horário ou anti-horário).

Passo 3

Somando v+90 a B e a A, obtemos uma das soluções:
C = B + v+90 = (4,-1) + (-1,-1) = (3,-2),
D = A + v+90 = (5,-2) + (-1,-1) = (4,-3)

Passo 4

Somando v-90 a B e a A, obtemos a outra solução:
C' = B + v-90 = (4,-1) + (1,1) = (5,0),
D' = A + v-90 = (5,-2) + (1,1) = (6,-1)

Passo 5

Agora, para A(1,2) e C(3,-4), que são extremidades da diagonal, o centro do quadrado é o ponto médio
M = l(tfrac1+32,;tfrac2 + (-4)2r) = (2,-1)
O vetor de uma metade da diagonal é
MA = A - M = (-1,,3)

Passo 6

A outra diagonal é perpendicular e de mesmo comprimento que MA. As rotações de pm90^circ de MA=(-1,3) são
v+90 = (-3,-1), v-90 = (3,1)

Passo 7

Os vértices B e D ficam em
B = M + v, D = M - v,
onde escolhemos v de modo que xB > xD. Tomando v = (3,1), temos
B = (2,-1)+(3,1) = (5,0), D = (2,-1)-(3,1) = (-1,-2)

Resposta

B(5,0), D(-1,-2)

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