(DANTE,2013) Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio p 1(x)=a(x+- c) 3+b(x+d) seja idêntico a p2(x)=x^3+6 x^2+15 x+14

Passo 1

O enunciado pede para encontrar constantes a, b e c tais que
p1(x)=a,(x+c)^3 + b,(x+c)
seja idêntico a
p2(x)=x^3+6x^2+15x+14
Como são polinômios idênticos, basta expandir p1(x) e igualar coeficientes dos mesmos graus de x.

Passo 2

Aplicamos a fórmula do binômio de Newton para (x+c)^3:
(x+c)^3 = x^3 + 3c,x^2 + 3c^2,x + c^3
Logo,
p1(x) = al(x^3 + 3c,x^2 + 3c^2,x + c^3r) ;+; b,(x+c)

Passo 3

Distribuindo a e somando o termo b(x+c) obtemos
p1(x) = a,x^3 ;+; 3a c,x^2 ;+; 3a c^2,x ;+; a c^3 ;+; b,x ;+; b,c
Agrupando termos sem sombra de dúvida:
p1(x) = l(ar),x^3 + l(3a cr),x^2 + l(3a c^2 + br),x + l(a c^3 + b cr)

Passo 4

Agora igualamos coeficientes de p1(x) e p2(x):
coeficiente de x^3:-
a = 1
coeficiente de x^2:-
3a c = 6 ;Longrightarrow; 3cdot1cdot c = 6 ;Longrightarrow; c = 2
coeficiente de x:-
3a c^2 + b = 15 ;Longrightarrow; 3cdot1cdot2^2 + b = 15 ;Longrightarrow; 12 + b = 15 ;Longrightarrow; b = 3
constante:-
a c^3 + b c = 14 ;Longrightarrow; 1cdot2^3 + 3cdot2 = 14 ;Longrightarrow; 8 + 6 = 14,
confirma consistência dos valores.

Resposta

a = 1, b = 3 e c = 2.

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