(DANTE, 2013) Calcule os valores de m e n para que seja exata a divisão do polinômio p(x)=2 x^3+mx^2+nx-1 por h(x)=2 x^2-x-1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar m e n tais que a divisão do polinômio
p(x)=2x^3+m x^2+n x-1
por
h(x)=2x^2-x-1
seja exata (isto é, resto zero). O conteúdo necessário é a divisão de polinômios e a condição de resto nulo.

Passo 2

Como deg p=3 e deg h=2, o quociente será um polinômio de grau 1. Seja
q(x)=a x+b
Então, para que a divisão seja exata, deve valer
p(x)=h(x),q(x)

Passo 3

Multiplicando explicitamente, temos
(2x^2-x-1)(a x+b) =2a,x^3+(2b-a),x^2+(-b-a),x -b
Como isso deve coincidir com p(x)=2x^3+m x^2+n x-1, igualamos coeficientes:
1. Coeficiente de x^3:
2a=2 implies a=1
2. Termo constante:
-b=-1 implies b=1

Passo 4

Com a=1 e b=1, igualamos os demais coeficientes:
- Coeficiente de x^2:
2b - a = m implies 2 cdot 1 - 1 = m implies m = 1
- Coeficiente de x:
-b - a = n implies -1 - 1 = n implies n = -2

Resposta

m=1 e n=-2.

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