Defina o grau e as raízes da função polinomial. Verifique a multiplicidade de cada raiz e se o gráfico cruza ou não o eixo x no valor analisado. Você pode esboçar o gráfico da função polinomial.
f(x)=7(x-3)^{2}(x+5)^{4}

Passo 1

O enunciado dá a função polinomial
f(x)=7(x-3)^{2}(x+5)^{4}
e pede para determinar o grau de f, as raízes, suas multiplicidades e dizer se o gráfico cruza ou apenas toca o eixo x em cada raiz. Vamos usar a definição de grau (maior expoente de x), fatoração para identificar raízes e a propriedade de que raízes de multiplicidade par fazem o gráfico “tocar” o eixo, enquanto de multiplicidade ímpar fazem “cruzar”.

Passo 2

Para achar o grau de f, somamos os expoentes dos fatores lineares:
\deg f = 2 + 4 = 6.

Passo 3

As raízes vêm dos zeros de cada fator:
x-3=0\implies x=3,\quad x+5=0\implies x=-5.
A multiplicidade de cada raiz é o expoente do fator correspondente, ou seja,
\text{multiplicidade de }x=3 \;=\;2, \quad \text{multiplicidade de }x=-5 \;=\;4.

Passo 4

Como ambas as multiplicidades são pares, em x=3 e em x=-5 o gráfico não cruza o eixo x, apenas toca e retorna para o mesmo lado.

Passo 5

O coeficiente líder é positivo ( 7>0) e o grau é par ( 6), logo
\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = +\infty.
Entre as raízes, f(x) \ge 0 em toda a reta. Um esboço qualitativo do gráfico é:
\begin{array}{l} \text{ } y \\\ \text{ } \uparrow \text{ .───────. } \\\ \text{ } \vert \text{ .' '. } \\\ \text{ } \vert \text{ / \\ } \\\ \text{ } \vert \text{ / \\ } \\\ \text{ } \vert \bullet (-5,0) \quad \bullet (3,0) \quad \text{ } \\\ \text{ } \vert \text{ \\ / } \\\ \text{ } \vert \text{ \\ / } \\\ \text{ } \vert \text{ .' .' } \\\ \text{ } \vert \text{ '───────' } \\\ \text{ } \text{\longrightarrow} x \end{array}

Resposta

Grau: 6
Raízes e multiplicidades:
\,x=3 (multiplicidade 2, toca e não cruza),
\,x=-5 (multiplicidade 4, toca e não cruza).

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