Defina o grau e as raízes da função polinomial. Verifique a multiplicidade de cada raiz e se o gráfico cruza ou não o eixo x no valor analisado. Você pode esboçar o gráfico da função polinomial.
f(x)=x(x-3)^{2}

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos a função polinomial
f(x)=x(x-3)^{2}
e determinar
– o grau de f,
– as raízes e suas multiplicidades,
– se o gráfico cruza ou apenas toca o eixo x em cada raiz.
Para isso usaremos fatoração, definição de grau e a propriedade de que raízes de multiplicidade ímpar fazem o gráfico cruzar o eixo e raízes de multiplicidade par fazem apenas tocar.

Passo 2

Para achar o grau de f basta somar os graus dos fatores: o fator x tem grau 1 e o fator (x-3)^{2} tem grau 2. Logo
\text{grau}(f)=1+2=3.

Passo 3

As raízes vêm dos zeros de cada fator:
– de x vem a raiz x=0,
– de (x-3)^{2} vem a raiz x=3.
A multiplicidade de cada raiz é o expoente com que aparece no polinômio fatorado, ou seja:
x=0 tem multiplicidade 1,
x=3 tem multiplicidade 2.

Passo 4

Usamos a regra: se a multiplicidade é ímpar, o gráfico cruza o eixo x nesse ponto; se é par, o gráfico toca e retorna. Portanto:
– em x=0 (multiplicidade 1, ímpar) o gráfico cruza o eixo x,
– em x=3 (multiplicidade 2, par) o gráfico apenas toca o eixo x e volta.

Passo 5

Para esboçar o gráfico é útil olhar o sinal de f(x):
– para x<0, x é negativo e (x-3)^{2} é positivo, logo f(x)<0;
– entre 0 e 3, x>0 mas (x-3)^{2}>0, então f(x)>0;
– para x>3, ambos fatores são positivos, logo f(x)>0.
Assim o gráfico vem de -\infty (quando x\to -\infty), cruza em 0, sobe até tocar em 3 e segue para +\infty.

Resposta

grau: 3
raízes: x=0, multiplicidade 1 (cruza o eixo x)
x=3, multiplicidade 2 (toca o eixo x)

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