Defina o grau e as raízes da função polinomial. Verifique a multiplicidade de cada raiz e se o gráfico cruza ou não o eixo
no valor analisado. Você pode esboçar o gráfico da função polinomial.
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos a função polinomial
e determinar
– o grau de ,
– as raízes e suas multiplicidades,
– se o gráfico cruza ou apenas toca o eixo em cada raiz.
Para isso usaremos fatoração, definição de grau e a propriedade de que raízes de multiplicidade ímpar fazem o gráfico cruzar o eixo e raízes de multiplicidade par fazem apenas tocar.
– o grau de
– as raízes e suas multiplicidades,
– se o gráfico cruza ou apenas toca o eixo
Para isso usaremos fatoração, definição de grau e a propriedade de que raízes de multiplicidade ímpar fazem o gráfico cruzar o eixo e raízes de multiplicidade par fazem apenas tocar.
Passo 2
Para achar o grau de
basta somar os graus dos fatores: o fator
tem grau
e o fator
tem grau
. Logo
Passo 3
As raízes vêm dos zeros de cada fator:
– de vem a raiz
,
– de vem a raiz
.
A multiplicidade de cada raiz é o expoente com que aparece no polinômio fatorado, ou seja:
– tem multiplicidade
,
– tem multiplicidade
.
– de
– de
A multiplicidade de cada raiz é o expoente com que aparece no polinômio fatorado, ou seja:
–
–
Passo 4
Usamos a regra: se a multiplicidade é ímpar, o gráfico cruza o eixo
nesse ponto; se é par, o gráfico toca e retorna. Portanto:
– em (multiplicidade
, ímpar) o gráfico cruza o eixo
,
– em (multiplicidade
, par) o gráfico apenas toca o eixo
e volta.
– em
– em
Passo 5
Para esboçar o gráfico é útil olhar o sinal de
:
– para ,
é negativo e
é positivo, logo
;
– entre e
,
mas
, então
;
– para , ambos fatores são positivos, logo
.
Assim o gráfico vem de (quando
), cruza em
, sobe até tocar em
e segue para
.
– para
– entre
– para
Assim o gráfico vem de
Resposta
grau:
raízes: , multiplicidade
(cruza o eixo
)
, multiplicidade
(toca o eixo
)
raízes: