Defina três relações de equivalência no conjunto de disciplinas oferecidas em sua escola. Determine as classes de equivalência de cada uma dessas relações de equivalência.

Passo 1

O enunciado pede para definirmos três relações de equivalência em um conjunto de disciplinas e, em seguida, encontrarmos as classes de equivalência de cada relação. O conteúdo envolvido é o de relações de equivalência, que são relações binárias reflexivas, simétricas e transitivas, e a noção de classe de equivalência, que é o conjunto de todos os elementos que se relacionam entre si. Para ilustrar, vamos fixar um conjunto de disciplinas típicas de uma escola de engenharia.

Passo 2

Definimos o conjunto de disciplinas \displaystyle\mathcal{D}=\{\text{Cálculo I},\;\text{Cálculo II},\;\text{Álgebra Linear},\;\text{Física I},\;\text{Física II},\;\text{Programação},\;\text{Estruturas de Dados},\;\text{Química Geral},\;\text{Química Orgânica}\}.ááÁííçãííâ
Relação R_1: “duas disciplinas estão em R_1 se pertencem ao mesmo departamento.”
  • É reflexiva (toda disciplina está no mesmo departamento de si mesma), simétrica e transitiva.
  • As classes de equivalência são os departamentos:
    \{\text{Cálculo I},\text{Cálculo II},\text{Álgebra Linear}\}ááÁ (Departamento de Matemática),
    \{\text{Física I},\text{Física II}\}íí (Departamento de Física),
    \{\text{Programação},\text{Estruturas de Dados}\}çã (Departamento de Computação),
    \{\text{Química Geral},\text{Química Orgânica}\}ííâ (Departamento de Química).

Passo 3

Relação R_2: “duas disciplinas estão em R_2 se são ministradas no mesmo semestre do curso.”
  • Também é reflexiva, simétrica e transitiva.
  • Supondo a oferta em dois semestres típicos, temos as classes:
    \{\text{Cálculo I},\text{Física I},\text{Química Geral},\text{Programação}\}áííçã (1º semestre),
    \{\text{Cálculo II},\text{Física II},\text{Química Orgânica},\text{Estruturas de Dados}\}áííâ (2º semestre),
    \{\text{Álgebra Linear}\}Á (oferecida apenas em semestre isolado).

Passo 4

Relação R_3: “duas disciplinas estão em R_3 se têm o mesmo número de créditos.”
  • Novamente é reflexiva, simétrica e transitiva.
  • Supondo cargas típicas, as classes podem ser:
    \{\text{Cálculo I},\text{Física I},\text{Química Geral}\}áíí (todas com, digamos, 5 créditos),
    \{\text{Cálculo II},\text{Física II},\text{Química Orgânica}\}áííâ (4 créditos),
    \{\text{Álgebra Linear},\text{Programação},\text{Estruturas de Dados}\}Áçã (6 créditos).

Resposta

Relação R_1 (mesmo departamento): \{\text{Cálculo I},\text{Cálculo II},\text{Álgebra Linear}\},\;\{\text{Física I},\text{Física II}\},\;\{\text{Programação},\text{Estruturas de Dados}\},\;\{\text{Química Geral},\text{Química Orgânica}\}.ááÁííçãííâ Relação R_2 (mesmo semestre): \{\text{Cálculo I},\text{Física I},\text{Química Geral},\text{Programação}\},\;\{\text{Cálculo II},\text{Física II},\text{Química Orgânica},\text{Estruturas de Dados}\},\;\{\text{Álgebra Linear}\}.áííçãáííâÁ Relação R_3 (mesmo número de créditos): \{\text{Cálculo I},\text{Física I},\text{Química Geral}\},\;\{\text{Cálculo II},\text{Física II},\text{Química Orgânica}\},\;\{\text{Álgebra Linear},\text{Programação},\text{Estruturas de Dados}\}.áííáííâÁçã

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