Defina três relações de equivalência no conjunto de prédios de um campus universitário. Determine as classes de equivalência para cada uma dessas relações de equivalência.

Passo 1

Vamos chamar por P o conjunto de todos os prédios do campus universitário. Nosso objetivo é definir três relações de equivalência em P, cada uma baseada em uma característica distinta dos prédios, e em seguida descrever as classes de equivalência (ou blocos da partição) geradas por cada relação.

Passo 2

Definimos a relação R_1\subseteq P\times P assim: para x,y\in P,
x \,R_1\, y \quad\Longleftrightarrow\quad x\text{ e }y\text{ têm a mesma função principal (ensino, pesquisa ou administração).}êçãçã
– Verificação de equivalência:
  1. Reflexiva: todo prédio tem a mesma função que ele próprio.
  2. Simétrica: se x e y têm a mesma função, y e x também.
  3. Transitiva: se x,y têm a mesma função e y,z também, então x,z têm a mesma função.
As classes de equivalência em R_1 são exatamente os três conjuntos
E_{\mathrm{ensino}}=\{\,x\in P\mid \text{função}(x)=\text{ensino}\},çã
E_{\mathrm{pesquisa}}=\{\,x\in P\mid \text{função}(x)=\text{pesquisa}\},çã
E_{\mathrm{admin}}=\{\,x\in P\mid \text{função}(x)=\text{administração}\}.çãçã

Passo 3

Definimos a relação R_2\subseteq P\times P assim: para x,y\in P,
x \,R_2\, y \quad\Longleftrightarrow\quad x\text{ e }y\text{ têm o mesmo número de andares.}êú
– Verificação de equivalência:
  1. Reflexiva: todo prédio tem o mesmo número de andares que ele próprio.
  2. Simétrica e transitiva seguem do mesmo raciocínio de igualdade de números.
As classes de equivalência em R_2 são, para cada k\in\mathbb{N}, o conjunto
A_k=\{\,x\in P\mid \text{andares}(x)=k\}.
Dessa forma P se particiona em \bigcup_{k\ge1}A_k, onde cada A_k reúne todos os prédios de k andares.

Passo 4

Definimos a relação R_3\subseteq P\times P assim: cada prédio possui um código alfanumérico cujo primeiro caractere indica o bloco (por exemplo “A1”, “A2” no Bloco A; “B1”, “B2” no Bloco B etc.). Então, para x,y\in P,
x \,R_3\, y \quad\Longleftrightarrow\quad \text{o primeiro caractere do código de \(x\) coincide com o de \(y\).}ó
– Verificação de equivalência:
  1. Reflexiva: o primeiro caractere de x é igual a si mesmo.
  2. Simétrica e transitiva vêm da igualdade de caracteres.
As classes de equivalência em R_3 são os blocos
B_A=\{\,x\in P\mid \text{código}(x)\text{ começa com “A”}\},\quad B_B=\{\,x\in P\mid \text{código}(x)\text{ começa com “B”}\},\;\dotsóçóç
Uma classe para cada letra de bloco presente no campus.

Resposta

(a) R_1: mesma função principal.
Classes:
E_{\mathrm{ensino}},\quad E_{\mathrm{pesquisa}},\quad E_{\mathrm{admin}}.
(b) R_2: mesmo número de andares.
Classes:
A_1,\,A_2,\,A_3,\dots,\quad\text{onde }A_k=\{x\in P\mid\text{andares}(x)=k\}.
(c) R_3: mesmo bloco (primeiro caractere do código).
Classes:
B_A,\,B_B,\,B_C,\dots,\quad\text{onde }B_L=\{x\in P\mid\text{código}(x)\text{ começa com “}L\text{”}\}.óç

Exercícios de Livros Relacionados