Quais destas relações no conjunto de todas as funções de
para
são relações de equivalência? Determine as propriedades de uma relação de equivalência que faltam para as outras.
e
Passo 1
O enunciado considera o conjunto de todas as funções
e define a relação
Queremos verificar se
é relação de equivalência, isto é, se satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.
Passo 2
Verificação de reflexividade:
Para todo , ter
exige
Para todo
o que equivale a
. Como nem toda função
satisfaz
,
não é reflexiva.
Passo 3
Verificação de simetria:
Se , então
Se
Invertendo os papéis, obtemos
logo
. Assim,
é simétrica.
Passo 4
Verificação de transitividade:
Suponha e
. Então
Suponha
Dessas igualdades segue
Para
precisaríamos
e
, o que exigiria
para toda
. Como isso não vale em geral,
não é transitiva.
Resposta
A relação
não é uma relação de equivalência.
Falta-lhe reflexividade e transitividade (ela é apenas simétrica).
Falta-lhe reflexividade e transitividade (ela é apenas simétrica).