Quais destas relações no conjunto de todas as funções de \mathbf{Z} para \mathbf{Z} são relações de equivalência? Determine as propriedades de uma relação de equivalência que faltam para as outras.
\{(f, g) \mid f(0)=g(1) e f(1)=g(0)\}

Passo 1

O enunciado considera o conjunto de todas as funções f\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{Z} e define a relação
R = \{(f,g)\mid f(0)=g(1)\text{ e }f(1)=g(0)\}.
Queremos verificar se R é relação de equivalência, isto é, se satisfaz as propriedades de reflexividade, simetria e transitividade.

Passo 2

Verificação de reflexividade:
Para todo f, ter (f,f)\in R exige
f(0)=f(1) \quad\text{e}\quad f(1)=f(0),
o que equivale a f(0)=f(1). Como nem toda função f satisfaz f(0)=f(1), R não é reflexiva.

Passo 3

Verificação de simetria:
Se (f,g)\in R, então
f(0)=g(1) \quad\text{e}\quad f(1)=g(0).
Invertendo os papéis, obtemos
g(0)=f(1) \quad\text{e}\quad g(1)=f(0),
logo (g,f)\in R. Assim, R é simétrica.

Passo 4

Verificação de transitividade:
Suponha (f,g)\in R e (g,h)\in R. Então
f(0)=g(1),\;f(1)=g(0),\;g(0)=h(1),\;g(1)=h(0).
Dessas igualdades segue
f(0)=h(0) \quad\text{e}\quad f(1)=h(1).
Para (f,h)\in R precisaríamos f(0)=h(1) e f(1)=h(0), o que exigiria h(0)=h(1) para toda h. Como isso não vale em geral, R não é transitiva.

Resposta

A relação R não é uma relação de equivalência.
Falta-lhe reflexividade e transitividade (ela é apenas simétrica).

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