(a) Dê uma definição geométrica de uma parábola.
(b) Escreva uma equação de uma parábola com foco (0, p) e diretriz y=-p. Então, o foco é (p, 0) e a diretriz é x=-p.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
(a) uma definição geométrica de parábola, e
(b) as equações de duas parábolas obtidas ao escolher um foco e uma diretriz em cada caso.
Vamos usar o conceito de locus de pontos cujas distâncias a um ponto fixo (foco) e a uma reta fixa (diretriz) são iguais. Para cada configuração, aplicamos a fórmula da distância ponto–ponto e ponto–reta e então simplificamos.
Passo 2
Foco em (0,p) e diretriz y=-p.
Para um ponto genérico (x,y), a distância ao foco é \sqrt{(x-0)^2 + (y-p)^2} e a distância à diretriz y=-p (reta dada por y + p = 0) é
Logo a equação da parábola que se abre para cima é
x^2 = 4\,p\,y.
Passo 3
Foco em (p,0) e diretriz x=-p.
Para um ponto (x,y), a distância ao foco é \sqrt{(x - p)^2 + (y - 0)^2} e a distância à diretriz x=-p (reta dada por x + p = 0) é