(a) Dê uma definição geométrica de uma parábola.
(b) Escreva uma equação de uma parábola com foco (0, p) e diretriz y=-p. Então, o foco é (p, 0) e a diretriz é x=-p.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
(a) uma definição geométrica de parábola, e
(b) as equações de duas parábolas obtidas ao escolher um foco e uma diretriz em cada caso.
Vamos usar o conceito de locus de pontos cujas distâncias a um ponto fixo (foco) e a uma reta fixa (diretriz) são iguais. Para cada configuração, aplicamos a fórmula da distância ponto–ponto e ponto–reta e então simplificamos.

Passo 2

Foco em (0,p) e diretriz y=-p.
Para um ponto genérico (x,y), a distância ao foco é \sqrt{(x-0)^2 + (y-p)^2} e a distância à diretriz y=-p (reta dada por y + p = 0) é
\frac{\bigl|y + p\bigr|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = \bigl|y + p\bigr|.
Impondo igualdade e elevando ao quadrado:
(x-0)^2 + (y - p)^2 = (y + p)^2
x^2 + y^2 - 2py + p^2 = y^2 + 2py + p^2
x^2 = 4\,p\,y.
Logo a equação da parábola que se abre para cima é
x^2 = 4\,p\,y.

Passo 3

Foco em (p,0) e diretriz x=-p.
Para um ponto (x,y), a distância ao foco é \sqrt{(x - p)^2 + (y - 0)^2} e a distância à diretriz x=-p (reta dada por x + p = 0) é
\frac{\bigl|x + p\bigr|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = \bigl|x + p\bigr|.
Igualando e elevando ao quadrado:
(x - p)^2 + y^2 = (x + p)^2
x^2 - 2px + p^2 + y^2 = x^2 + 2px + p^2
y^2 = 4\,p\,x.
Essa parábola abre para a direita e sua equação é
y^2 = 4\,p\,x.

Resposta

(a) Uma parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que têm a mesma distância a um ponto fixo (foco) e a uma reta fixa (diretriz).
(b)
\text{Para foco }(0,p),\;\text{diretriz }y=-p:\quad x^2 = 4\,p\,y.
\text{Para foco }(p,0),\;\text{diretriz }x=-p:\quad y^2 = 4\,p\,x.

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