Como você calcula
a área sob uma curva parametrizada?

Passo 1

Temos uma curva parametrizada pelas funções x(t) e y(t) no intervalo t\in[a,b]. A missão é calcular a área sob essa curva e acima do eixo x. Vamos usar mudança de variável em integrais e interpretar geometricamente a integral de linha.

Passo 2

Lembrando o caso clássico, se y=f(x) para x\in[x_0,x_1], a área sob a curva até o eixo x é \displaystyle \int_{x_0}^{x_1}f(x)\,dx.
Ali, o diferencial horizontal é dx.

Passo 3

Na parametrização, x e y variam com t. Logo
dx = x'(t)\,dt
e o “pequeno retângulo” de área y\,dx torna-se y(t)\,x'(t)\,dt.

Passo 4

Integrando de t=a até t=b, obtemos a área orientada
A = \int_a^b y(t)\,x'(t)\,dt.
Se x'(t) mudar de sinal, partes da área podem aparecer com sinal negativo (cancelando).

Passo 5

Para garantir sempre área positiva, usamos o valor absoluto do diferencial horizontal:
A = \int_a^b y(t)\,\bigl|x'(t)\bigr|\,dt.

Resposta

A área sob a curva parametrizada x(t), y(t), t\in[a,b] é
A = \int_a^b y(t)\,x'(t)\,dt.

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