(a) Use um diagrama para explicar o significado das coordenadas polares (r, \theta) de um ponto.
(b) Escreva as equações para expressar as coordenadas cartesianas (x, y) de um ponto em termos de coordenadas polares.
(c) Quais equações você usaria para encontrar as coordenadas polares de um ponto se soubesse as coordenadas cartesianas?

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
– (a) interpretar geometricamente as coordenadas polares (r,\theta) de um ponto no plano;
– (b) achar as fórmulas que dão x e y em função de r e \theta;
– (c) inverter esse processo, expressando r e \theta em termos de x e y.
Para isso vamos usar conceitos de trigonometria (seno, cosseno, arco-tangente) e o teorema de Pitágoras.

Passo 2

Para explicar (r,\theta) com um diagrama, imagine o plano cartesiano com eixo horizontal x e vertical y. Seja um ponto P de coordenadas polares (r,\theta).
  1. Desenha-se do ponto de origem O=(0,0) uma reta até P;
  2. O comprimento dessa reta é precisamente r,
    que mede a distância de P à origem.
  3. O ângulo entre essa reta e o eixo positivo x é \theta,
    medido no sentido anti-horário a partir de x.

Passo 3

Para obter as coordenadas cartesianas (x,y) a partir de (r,\theta), projetamos o ponto P nos eixos usando trigonometria no triângulo retângulo formado pela projeção de P sobre o eixo x:
x = r \cos(\theta)
y = r \sin(\theta)

Passo 4

Para voltar de (x,y) a (r,\theta), usamos
– Pitágoras para a distância: r = \sqrt{x^2 + y^2}
– definição de tangente para o ângulo, lembrando de escolher o quadrante correto (função \arctan2):
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) \quad\text{(ou mais robusto: }\theta = \operatorname{atan2}(y,x)\text{).}

Resposta

(a) Num diagrama, o ponto P é obtido traçando-se do origin O um segmento de comprimento r que forma um ângulo \theta com o eixo x.
(b)
x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta).
(c)
r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr) \quad(\text{ou }\theta = \operatorname{atan2}(y,x)).

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