(a) Use um diagrama para explicar o significado das coordenadas polares
de um ponto.
(b) Escreva as equações para expressar as coordenadas cartesianas
de um ponto em termos de coordenadas polares.
(c) Quais equações você usaria para encontrar as coordenadas polares de um ponto se soubesse as coordenadas cartesianas?
(b) Escreva as equações para expressar as coordenadas cartesianas
(c) Quais equações você usaria para encontrar as coordenadas polares de um ponto se soubesse as coordenadas cartesianas?
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
– (a) interpretar geometricamente as coordenadas polares de um ponto no plano;
– (b) achar as fórmulas que dão e
em função de
e
;
– (c) inverter esse processo, expressando e
em termos de
e
.
Para isso vamos usar conceitos de trigonometria (seno, cosseno, arco-tangente) e o teorema de Pitágoras.
– (a) interpretar geometricamente as coordenadas polares
– (b) achar as fórmulas que dão
– (c) inverter esse processo, expressando
Para isso vamos usar conceitos de trigonometria (seno, cosseno, arco-tangente) e o teorema de Pitágoras.
Passo 2
Para explicar
com um diagrama, imagine o plano cartesiano com eixo horizontal
e vertical
. Seja um ponto
de coordenadas polares
.
- Desenha-se do ponto de origem
uma reta até ; - O comprimento dessa reta é precisamente
que mede a distância deà origem. - O ângulo entre essa reta e o eixo positivo
é
medido no sentido anti-horário a partir de.
Passo 3
Para obter as coordenadas cartesianas
a partir de
, projetamos o ponto
nos eixos usando trigonometria no triângulo retângulo formado pela projeção de
sobre o eixo
:
Passo 4
Para voltar de
a
, usamos
– Pitágoras para a distância:
– definição de tangente para o ângulo, lembrando de escolher o quadrante correto (função ):
– Pitágoras para a distância:
– definição de tangente para o ângulo, lembrando de escolher o quadrante correto (função
Resposta
(a) Num diagrama, o ponto
é obtido traçando-se do origin
um segmento de comprimento
que forma um ângulo
com o eixo
.
(b)
(b)
(c)