Dê uma demonstração direta da sentença de geometria euclidiana a seguir. Cite todos os teoremas que você usou.
A soma de todas as medidas dos ângulos de um paralelogramo é 360^circ.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num paralelogramo, a soma das medidas dos quatro ângulos internos vale 360^circ. Vamos usar:
– Propriedade do paralelogramo: em ABCD, temos ABparal<=l CD e BCparal<=l AD.
– Teorema do Ângulo Alterno Interno: se duas retas são paralelas e uma transversal as corta, então os ângulos alternos internos são congruentes.
– Teorema dos Ângulos Colaterais Internos: se duas retas são paralelas e cortadas por uma transversal, então os ângulos internos no mesmo lado da transversal são suplementares (soma 180^circ).

Passo 2

Pela definição de paralelogramo, em ABCD temos
ABparal<=l CD e BCparal<=l AD

Passo 3

Aplicando o Teorema do Ângulo Alterno Interno:
– Em ABparal<=l CD com transversal BC,
ang<= ABC=ang<= BCD.
– Em BCparal<=l AD com transversal AB,
ang<= DAB=ang<= ADC.
Portanto, denotando ang<= A=ang<= DAB, ang<= B=ang<= ABC, ang<= C=ang<= BCD e ang<= D=ang<= CDA, obtemos
ang<= B=ang<= C e ang<= A=ang<= D

Passo 4

Aplicando o Teorema dos Ângulos Colaterais Internos:
– Em ABparal<=l CD com transversal BC,
ang<= ABC+ang<= BCD=180^circ, isto é,
ang<= B+ang<= C=180^circ.
– Em BCparal<=l AD com transversal AB,
ang<= DAB+ang<= ABC=180^circ, isto é,
ang<= A+ang<= B=180^circ.

Passo 5

Como ang<= C=ang<= B e ang<= D=ang<= A, temos
ang<= A+ang<= B+ang<= C+ang<= D =ang<= A+ang<= B+ang<= A+ang<= B =2(ang<= A+ang<= B) =2cdot180^circ =360^circ

Resposta

A soma das medidas dos ângulos internos de um paralelogramo é 360^circ.

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