Dê uma demonstração direta da sentença de geometria euclidiana a seguir. Cite todos os teoremas que você usou.
A soma de todas as medidas dos ângulos de um paralelogramo é
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num paralelogramo, a soma das medidas dos quatro ângulos internos vale
. Vamos usar:
– Propriedade do paralelogramo: em , temos
e
.
– Teorema do Ângulo Alterno Interno: se duas retas são paralelas e uma transversal as corta, então os ângulos alternos internos são congruentes.
– Teorema dos Ângulos Colaterais Internos: se duas retas são paralelas e cortadas por uma transversal, então os ângulos internos no mesmo lado da transversal são suplementares (soma ).
– Propriedade do paralelogramo: em
– Teorema do Ângulo Alterno Interno: se duas retas são paralelas e uma transversal as corta, então os ângulos alternos internos são congruentes.
– Teorema dos Ângulos Colaterais Internos: se duas retas são paralelas e cortadas por uma transversal, então os ângulos internos no mesmo lado da transversal são suplementares (soma
Passo 2
Pela definição de paralelogramo, em
temos
Passo 3
Aplicando o Teorema do Ângulo Alterno Interno:
– Em com transversal
,
.
– Em com transversal
,
.
Portanto, denotando ,
,
e
, obtemos
– Em
– Em
Portanto, denotando
Passo 4
Aplicando o Teorema dos Ângulos Colaterais Internos:
– Em com transversal
,
, isto é,
.
– Em com transversal
,
, isto é,
.
– Em
– Em
Passo 5
Como
e
, temos
Resposta
A soma das medidas dos ângulos internos de um paralelogramo é
.