A demonstração a seguir para
,
sempre que
for um número inteiro positivo é correta? Justifique sua resposta.
Passo base: O resultado é verdadeiro quando
porque
Passo de indução: Assuma que o resultado seja verdadeiro para
. Então,
Assim, o resultado é verdadeiro para
se for verdadeiro para
. Isso completa a demonstração.
sempre que
Passo base: O resultado é verdadeiro quando
Passo 1
O enunciado tenta provar, por indução em
, a fórmula de uma soma telescópica:
O método é o de prova por indução, que consiste em (i) verificar um passo base e (ii) mostrar que, se a fórmula vale para um
, então vale para
.
Passo 2
Verifiquemos o passo base declarado,
. A soma fica, segundo o enunciado,
e o lado direito é
Como
, o passo base para
está correto.
Passo 3
Entretanto, a fórmula deve valer também para
. Vamos testar:
Lado esquerdo:
Lado esquerdo:
Lado direito:
Como
, a igualdade geral falha para
. Logo o enunciado é falso já em
.
Passo 4
Concluímos que não existe uma prova válida por indução para algo que é falso. O verdadeiro resultado da soma telescópica é
e não
. Portanto a demonstração apresentada está incorreta.
Resposta
A demonstração não é correta porque a igualdade falha para
, logo o enunciado é falso.