A demonstração a seguir para
\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+\frac{1}{(n-1) n}=\frac{3}{2}-\frac{1}{n},
sempre que n for um número inteiro positivo é correta? Justifique sua resposta.
Passo base: O resultado é verdadeiro quando n=1 porque
\frac{1}{1 \cdot 2}=\frac{3}{2}-\frac{1}{1} .
Passo de indução: Assuma que o resultado seja verdadeiro para n. Então,
\begin{aligned} \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\ldots+ & \frac{1}{(n-1) n}+\frac{1}{n(n+1)} \\\ & =\frac{3}{2}-\frac{1}{n}+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\\ & =\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1} . \end{aligned}
Assim, o resultado é verdadeiro para n+1 se for verdadeiro para n. Isso completa a demonstração.

Passo 1

O enunciado tenta provar, por indução em n, a fórmula de uma soma telescópica:
\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\cdots+\frac{1}{(n-1)n} =\frac{3}{2}-\frac{1}{n}.
O método é o de prova por indução, que consiste em (i) verificar um passo base e (ii) mostrar que, se a fórmula vale para um n, então vale para n+1.

Passo 2

Verifiquemos o passo base declarado, n=1. A soma fica, segundo o enunciado,
\frac{1}{1\cdot2}
e o lado direito é
\frac{3}{2}-\frac{1}{1}= \frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}.
Como \tfrac1{1\cdot2}=\tfrac12, o passo base para n=1 está correto.

Passo 3

Entretanto, a fórmula deve valer também para n=2. Vamos testar:
Lado esquerdo:
\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3} =\frac12+\frac16=\frac23.
Lado direito:
\frac{3}{2}-\frac{1}{2} = \frac{3}{2}-\frac12=1.
Como \tfrac23\neq1, a igualdade geral falha para n=2. Logo o enunciado é falso já em n=2.

Passo 4

Concluímos que não existe uma prova válida por indução para algo que é falso. O verdadeiro resultado da soma telescópica é
\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i(i+1)} =1-\frac{1}{n},
e não \tfrac32-\tfrac1n. Portanto a demonstração apresentada está incorreta.

Resposta

A demonstração não é correta porque a igualdade falha para n=2, logo o enunciado é falso.

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