Use a indução matemática para demonstrar que a-b é um fator de a^{n}-b^{n} sempre que n for um número inteiro positivo.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução matemática, que (a-b) é um divisor de \;a^{n}-b^{n} sempre que n for inteiro positivo. O conteúdo principal é o princípio da indução e a propriedade de divisão em polinômios: queremos mostrar que existe um inteiro (ou polinômio) Q_n tal que
a^{n}-b^{n}=(a-b)\,Q_{n}.

Passo 2

Base da indução n=1. Nesse caso
a^{1}-b^{1}=a-b,
logo (a-b) divide \;a^{1}-b^{1}, pois podemos tomar Q_{1}=1.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que para algum k\ge1 vale
a^{k}-b^{k}=(a-b)\,Q_{k}
para algum polinômio (ou inteiro) Q_{k}. Esta é a nossa hipótese de indução.

Passo 4

Passo indutivo n=k+1. Vamos analisar
a^{k+1}-b^{k+1} =\;a\cdot a^{k}\;-\;b\cdot b^{k} =\;a\,a^{k}-a\,b^{k}+a\,b^{k}-b\,b^{k}.
Agrupando termos, obtemos
a^{k+1}-b^{k+1} =\,a\bigl(a^{k}-b^{k}\bigr)\;+\;b^{k}\bigl(a-b\bigr).
Pela hipótese de indução, (a-b) divide \;a^{k}-b^{k}, logo também divide a\,(a^{k}-b^{k}). E claramente (a-b) divide b^{k}(a-b). Portanto, (a-b) divide a soma dos dois termos, isto é, divide a^{k+1}-b^{k+1}. Assim existe um Q_{k+1} tal que
a^{k+1}-b^{k+1}=(a-b)\,Q_{k+1}.

Passo 5

Concluímos, pelo princípio da indução, que para todo inteiro n\ge1 existe um Q_{n} satisfazendo
a^{n}-b^{n}=(a-b)\,Q_{n},
ou seja, (a-b) é fator de \;a^{n}-b^{n} para todo n positivo.

Resposta

Fica demonstrado que (a-b) divide a^{n}-b^{n} para todo inteiro positivo n.

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