Use a indução matemática para demonstrar que
é um fator de
sempre que
for um número inteiro positivo.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução matemática, que
é um divisor de
sempre que
for inteiro positivo. O conteúdo principal é o princípio da indução e a propriedade de divisão em polinômios: queremos mostrar que existe um inteiro (ou polinômio)
tal que
Passo 2
Base da indução
. Nesse caso
logo
divide
, pois podemos tomar
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que para algum
vale
para algum polinômio (ou inteiro)
. Esta é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Passo indutivo
. Vamos analisar
Agrupando termos, obtemos
Pela hipótese de indução,
divide
, logo também divide
. E claramente
divide
. Portanto,
divide a soma dos dois termos, isto é, divide
. Assim existe um
tal que
Passo 5
Concluímos, pelo princípio da indução, que para todo inteiro
existe um
satisfazendo
ou seja,
é fator de
para todo
positivo.
Resposta
Fica demonstrado que
divide
para todo inteiro positivo
.