Use a indução matemática para demonstrar esta fórmula para a soma dos termos de uma progressão aritmética.
a+(a+d)+\cdots+(a+n d)=(n+1)(2 a+n d) / 2

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução em n, que a soma dos termos de uma progressão aritmética
S(n)=a + (a+d) + \cdots + \bigl(a+nd\bigr)
é dada por
S(n)=\frac{(n+1)\bigl(2a + n d\bigr)}{2}.
O conteúdo envolve progressão aritmética e método de indução matemática.

Passo 2

Base da indução n=0:
S(0)=a
pela definição, e a fórmula proposta para n=0
\frac{(0+1)\bigl(2a+0\cdot d\bigr)}{2}=\frac{1\cdot 2a}{2}=a.
Logo, a fórmula vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para algum inteiro n\ge0, valha
S(n)=\sum_{k=0}^{n}\bigl(a+k d\bigr)=\frac{(n+1)\bigl(2a+n d\bigr)}{2}.

Passo 4

Passo de indução: mostramos que a fórmula vale para n+1. Temos
S(n+1)=S(n)+\bigl(a+(n+1)d\bigr).
Pela hipótese de indução,
S(n+1) =\frac{(n+1)\bigl(2a+n d\bigr)}{2}+\bigl(a+(n+1)d\bigr).
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 2:
S(n+1) =\frac{(n+1)(2a+n d)+2\bigl(a+(n+1)d\bigr)}{2}.
Desenvolvendo o numerador:
(n+1)(2a+n d)+2a+2(n+1)d =2a(n+1)+n d(n+1)+2a+2d(n+1) =(n+2)\bigl(2a+(n+1)d\bigr).
Assim
S(n+1) =\frac{(n+2)\bigl(2a+(n+1)d\bigr)}{2},
que é exatamente a fórmula com n substituído por n+1. Logo a propriedade se mantém.

Resposta

Por indução, fica demonstrado que, para todo inteiro n\ge0,
\sum_{k=0}^{n}\bigl(a+k d\bigr) =\frac{(n+1)\bigl(2a+n d\bigr)}{2}.

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