Use a indução matemática para demonstrar esta fórmula para a soma dos termos de uma progressão aritmética.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução em
, que a soma dos termos de uma progressão aritmética
é dada por
O conteúdo envolve progressão aritmética e método de indução matemática.
Passo 2
Base da indução
:
pela definição, e a fórmula proposta para
dá
Logo, a fórmula vale para
.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que, para algum inteiro
, valha
Passo 4
Passo de indução: mostramos que a fórmula vale para
. Temos
Pela hipótese de indução,
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Desenvolvendo o numerador:
Assim
que é exatamente a fórmula com
substituído por
. Logo a propriedade se mantém.
Resposta
Por indução, fica demonstrado que, para todo inteiro
,