Achar as derivadas de segunda ordem das seguintes funções:
y=a \operatorname{cosh} \frac{x}{a}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas de segunda ordem de
y = a \operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr).
O conteúdo envolve a regra da cadeia e as derivadas das funções hiperbólicas, sabendo que
\frac{d}{du}\operatorname{cosh}(u)=\operatorname{sinh}(u), \quad \frac{d}{du}\operatorname{sinh}(u)=\operatorname{cosh}(u).

Passo 2

Começamos pela primeira derivada. Seja u(x)=\tfrac{x}{a}. Então, pela regra da cadeia,
y' = \frac{dy}{dx} = a \cdot \operatorname{sinh}\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) = a \cdot \operatorname{sinh}\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr)\cdot \frac{1}{a} = \operatorname{sinh}\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr).

Passo 3

Agora derivamos y'=\operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr). Aplicando de novo a regra da cadeia com u'(x)=\tfrac{1}{a}, temos
y'' = \frac{d^2y}{dx^2} = \operatorname{cosh}\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr)\cdot \frac{1}{a} = \frac{1}{a}\,\operatorname{cosh}\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr).

Resposta

y' = \operatorname{sinh}\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr), \quad y'' = \frac{1}{a}\,\operatorname{cosh}\!\Bigl(\frac{x}{a}\Bigr).

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