(a) Se
e
, demonstrar, recorrendo à fórmula de Euler, que
onde
é la função gamma.
(b) Utilizar a alinea (a) para demonstrar
(b) Utilizar a alinea (a) para demonstrar
Passo 1
O enunciado pede que usemos a fórmula de Euler de somação para a função
com
e
, de modo a obter a expansão
Para isso precisamos da enunciação da fórmula de Euler, da definição de
e das propriedades da função Gamma.
Passo 2
A fórmula de Euler para somação diz
onde
Passo 3
Aplicando essa fórmula a
, obtemos
Passo 4
Calculamos
Com a substituição
temos
, então
pois
.
Passo 5
Derivando
temos
Substituindo na soma de Euler:
Reagrupando o sinal menos:
Isto prova a parte (a).
Passo 6
Para (b), usamos que
satisfaz
Logo
pois
integral0^inftyx^p-1e^-a x^p,dx=tfrac1p,a .
Definindo
Definindo
segue imediatamente que
0<theta<1 e, portanto,