(a) Se a>0 e p>0, demonstrar, recorrendo à fórmula de Euler, que
sumk=0^infty e^-a k^p=Gamma(1+1p)a^1 / p+12-a p integral0^infty varphi1(x) x^p-1 e^-a x^p d x
onde Gamma é la função gamma.
(b) Utilizar a alinea (a) para demonstrar
sumk=0^infty e^-a k^p=Gamma(1+1p)a^1 / p+theta, com 0<theta<1

Passo 1

O enunciado pede que usemos a fórmula de Euler de somação para a função
f(x)=e^-a x^p
com a>0 e p>0, de modo a obter a expansão
sumk=0^inftye^-a k^p =Gammal(1+tfrac1pr)a^1/p+12 -,a pintegral0^inftyvarphi1(x),x^p-1e^-a x^p,dx
Para isso precisamos da enunciação da fórmula de Euler, da definição de varphi1 e das propriedades da função Gamma.

Passo 2

A fórmula de Euler para somação diz
sumk=0^inftyf(k) =integral0^inftyf(x),dx ;+;f(0)2 ;-;integral0^inftyvarphi1(x),f'(x),dx,
onde
varphi1(x)=x-lfloor xrfloor-tfrac12

Passo 3

Aplicando essa fórmula a f(x)=e^-a x^p, obtemos
sumk=0^inftye^-a k^p =integral0^inftye^-a x^p,dx +12 -integral0^inftyvarphi1(x),l(e^-a x^pr)',dx

Passo 4

Calculamos
integral0^inftye^-a x^p,dx
Com a substituição t=a x^p temos x^p-1dx = tfracdtp,a, então
integral0^inftye^-a x^p,dx =integral0^inftye^-t,dtp,a^1/p,t^(p-1)/p =1p,a^-1/p,Gammal(tfrac1pr) =Gammal(1+tfrac1pr)a^1/p,
pois Gamma(1+tfrac1p)=tfrac1p,Gamma(tfrac1p).

Passo 5

Derivando f temos
l(e^-a x^pr)' =-a p,x^p-1e^-a x^p
Substituindo na soma de Euler:
sumk=0^inftye^-a k^p =Gamma(1+tfrac1p)a^1/p +12 -integral0^inftyvarphi1(x),l(-a p,x^p-1e^-a x^pr),dx
Reagrupando o sinal menos:
sumk=0^inftye^-a k^p =Gamma(1+tfrac1p)a^1/p +12 -,a pintegral0^inftyvarphi1(x),x^p-1e^-a x^p,dx
Isto prova a parte (a).

Passo 6

Para (b), usamos que varphi1(x) satisfaz
-,tfrac12;<=;varphi1(x);<=;tfrac12 forall x
Logo
l|a p!integral0^inftyvarphi1(x),x^p-1e^-a x^p,dxr| <= a pintegral0^inftytfrac12,x^p-1e^-a x^p,dx =12,
pois integral0^inftyx^p-1e^-a x^p,dx=tfrac1p,a.
Definindo
theta ;=;12 -,a pintegral0^inftyvarphi1(x),x^p-1e^-a x^p,dx,
segue imediatamente que 0<theta<1 e, portanto,
sumk=0^inftye^-a k^p =Gamma(1+tfrac1p)a^1/p+theta, 0<theta<1

Resposta

sumk=0^inftye^-a k^p =Gammal(1+tfrac1pr)a^1/p+theta, 0<theta<1

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