Demonstrar as seguintes propriedades dos coeficientes binomiais:
1+binomn1+binomn2+ldots+binomnn-1+binomnn=2^n.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar que, para todo inteiro n>=0, vale a igualdade
1 + binomn1 + binomn2 + cdots + binomnn ;=; 2^n
O conteúdo envolve teoria de coeficientes binomiais e o Teorema Binomial, além de interpretação combinatória de subconjuntos.

Passo 2

Prova combinatória por contagem de subconjuntos. Suponha que temos um conjunto S com n elementos. O número total de subconjuntos de S é 2^n, pois cada elemento pode ou não pertencer a um subconjunto (duas escolhas por elemento). Por outro lado, podemos contar esses subconjuntos agrupando-os por tamanho:
  • binomn0 subconjuntos de tamanho 0,
  • binomn1 de tamanho 1,
  • ···
  • binomnn de tamanho n.
Somando todas as possibilidades de 0 até n elementos, obtemos
binomn0 + binomn1 + binomn2 + cdots + binomnn ;=; 2^n
Como binomn0=1, isso coincide exatamente com a identidade que queremos.

Passo 3

Prova algébrica via Teorema Binomial. O Teorema Binomial afirma que, para quaisquer x,y e inteiro n>=0,
(x+y)^n ;=; sumk=0^n binomnk,x^n-ky^k
Basta então escolher x=1 e y=1. Temos
(1+1)^n ;=; sumk=0^n binomnk,1^n-k1^k ;=; sumk=0^n binomnk ;=; binomn0 + binomn1 + cdots + binomnn
Como (1+1)^n=2^n, segue a identidade desejada.

Resposta

1 + binomn1 + binomn2 + cdots + binomnn ;=; 2^n

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