Demonstrar as seguintes propriedades dos coeficientes binomiais:
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar que, para todo inteiro
, vale a igualdade
O conteúdo envolve teoria de coeficientes binomiais e o Teorema Binomial, além de interpretação combinatória de subconjuntos.
Passo 2
Prova combinatória por contagem de subconjuntos. Suponha que temos um conjunto
com
elementos. O número total de subconjuntos de
é
, pois cada elemento pode ou não pertencer a um subconjunto (duas escolhas por elemento). Por outro lado, podemos contar esses subconjuntos agrupando-os por tamanho:
- há
subconjuntos de tamanho , - há
de tamanho , - ···
- há
de tamanho .
Somando todas as possibilidades de
até
elementos, obtemos
Como
, isso coincide exatamente com a identidade que queremos.
Passo 3
Prova algébrica via Teorema Binomial. O Teorema Binomial afirma que, para quaisquer
e inteiro
,
Basta então escolher
e
. Temos
Como
, segue a identidade desejada.