Demonstrar as seguintes propriedades dos coeficientes binomiais:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a simetria dos coeficientes binomiais, ou seja, que
para todo inteiro
e
com
. O conteúdo aqui é combinatória básica, usando a definição fatorial de
e um argumento de contagem.
Passo 2
Pela definição fatorial de coeficiente binomial temos
Como a multiplicação de fatoriais é comutativa, podemos trocar
e
no denominador:
Passo 3
Em termos de contagem,
é o número de modos de escolher
elementos de um conjunto de
. Mas escolher quais
entram é equivalente a escolher quais
ficam de fora. Logo, há o mesmo número de escolhas, e