Demonstrar as seguintes propriedades dos coeficientes binomiais:

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a simetria dos coeficientes binomiais, ou seja, que
binomnk = binomnn-k,
para todo inteiro n e k com 0 <= k <= n. O conteúdo aqui é combinatória básica, usando a definição fatorial de binomnk e um argumento de contagem.

Passo 2

Pela definição fatorial de coeficiente binomial temos
binomnk = n!k!,(n-k)!
Como a multiplicação de fatoriais é comutativa, podemos trocar k! e (n-k)! no denominador:
n!k!,(n-k)! = n!(n-k)!,k! = binomnn-k

Passo 3

Em termos de contagem, binomnk é o número de modos de escolher k elementos de um conjunto de n. Mas escolher quais k entram é equivalente a escolher quais n-k ficam de fora. Logo, há o mesmo número de escolhas, e
binomnk = binomnn-k

Resposta

binomnk = binomnn-k

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