Uma seqüência é denominada progressão aritmética de primeira ordem so a diferença entre os têrmos sucessivos fôr constante. E denominada progressão aritmética de segunda ordem se a diferença entre os têrmos sucessivos formar uma progressão aritmética de primeira ordem; e, em geral, é chamada progressão aritmética de ordem k se a diferença entre os seus têrmos sucessivos formar uma progressão aritmética de ordem ( k-1 ).
Os números 4. 6, 13, 27, 50, 84 são os primeiros seis têrmos de uma progressão aritmética. Qual é a sua ordem? Qual é o oitavo têrmo ^ P

Passo 1

O enunciado dá a sequência a1=4, a2=6, a3=13, a4=27, a5=50, a6=84 e diz que é uma progressão aritmética de ordem k. Vamos usar o conceito de diferenças sucessivas: a diferença de primeira ordem é De<a^1an=an+1-an, a diferença de segunda ordem é De<a^2an=De<a^1an+1-De<a^1an e assim por diante. A sequência tem ordem k se De<a^k an for constante e k for o menor inteiro com essa propriedade.

Passo 2

Calculamos as diferenças de primeira ordem:
De<a^1a1 = 6-4 = 2, De<a^1a2 = 13-6 = 7, De<a^1a3 = 27-13 = 14,
De<a^1a4 = 50-27 = 23, De<a^1a5 = 84-50 = 34
Portanto
De<a^1 = (2,;7,;14,;23,;34)

Passo 3

Agora as diferenças de segunda ordem:
De<a^2a1 = 7-2 = 5, De<a^2a2 = 14-7 = 7, De<a^2a3 = 23-14 = 9, De<a^2a4 = 34-23 = 11
Logo
De<a^2 = (5,;7,;9,;11)

Passo 4

Calculamos as diferenças de terceira ordem:
De<a^3a1 = 7-5 = 2, De<a^3a2 = 9-7 = 2, De<a^3a3 = 11-9 = 2
Como De<a^3 = (2,2,2) é constante, a ordem da progressão aritmética é k=3.

Passo 5

Para achar o sétimo e o oitavo termos, estendemos as diferenças usando De<a^3=2. Primeiro as próximas diferenças de segunda ordem:
De<a^2a5 = 11 + 2 = 13, De<a^2a6 = 13 + 2 = 15
Em seguida as diferenças de primeira ordem correspondentes:
De<a^1a6 = 34 + 13 = 47, De<a^1a7 = 47 + 15 = 62
Logo os termos:
a7 = 84 + 47 = 131, a8 = 131 + 62 = 193

Resposta

A ordem é 3.
O oitavo termo é 193.

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