Demonstre as fórmulas de cofunções para secantes e cossecantes.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar as fórmulas de cofunções das funções secante e cossecante. Estamos em trigonometria, usando duas ideias básicas: as identidades de cofunção para seno e cosseno e a definição de funções recíprocas.

Passo 2

Primeiro, relembremos as identidades de cofunções para seno e cosseno, que vêm da complementaridade de ângulos no círculo unitário:
sinl(tfracpi2-xr)=cos x
cosl(tfracpi2-xr)=sin x

Passo 3

Em seguida, lembramos a definição de secante e cossecante como recíprocas de cosseno e seno:
sec x = 1cos x
csc x = 1sin x

Passo 4

Agora demonstramos a fórmula para a secante de um coângulo. Começamos com a definição
secl(tfracpi2-xr)=1cosl(tfracpi2-xr)
Substituindo a identidade cosl(tfracpi2-xr)=sin x, vem
secl(tfracpi2-xr)=1sin x=csc x

Passo 5

De modo análogo, para a cossecante de um coângulo temos
cscl(tfracpi2-xr)=1sinl(tfracpi2-xr)
Usando sinl(tfracpi2-xr)=cos x, obtemos
cscl(tfracpi2-xr)=1cos x=sec x

Resposta

secl(tfracpi2-xr)=csc x,
cscl(tfracpi2-xr)=sec x

Exercícios de Livros Relacionados