20.13 Demonstre as propriedades de periodicidade das funções seno, cosseno e tangente.
Seja P(t)=(x, y); então P(t+2 pi)=P(t)=(x, y). Segue imediatamente que sen(t+2 pi)=y=sen t e cos (t+2 pi)=x= cos t.
Também, P(t+pi)=(-x,-y). Logo, tg(t+pi)=-y-x=yx=tg t.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as funções trigonométricas têm os seguintes períodos:
sent e cos t são periódicas de período 2pi.
tgt é periódica de período pi.
Usaremos a definição geométrica em que, na circunferência trigonométrica de raio 1, o ponto
P(t) = (cos t,;sent)
corresponde ao ângulo t.

Passo 2

Quando somamos 2pi ao ângulo t, percorremos exatamente uma volta completa no círculo e retornamos à mesma posição. Logo,
P(t+2pi)=P(t)
Isso implica
cos(t+2pi)=cos t e sen(t+2pi)=sent,
mostrando que cos t e sent têm período 2pi.

Passo 3

Agora, somar pi ao ângulo t leva ao ponto diametralmente oposto na circunferência, isto é,
P(t+pi)=(-cos t,,-sent)
Dessa forma,
sen(t+pi)=-sent, cos(t+pi)=-cos t
Como
tgt = sentcos t,
segue-se
tg(t+pi) =sen(t+pi)cos(t+pi) =-sent-,cos t =sentcos t =tgt,
provando que tgt tem período pi.

Resposta

sen(t+2pi)=sent,
cos(t+2pi)=cos t e
tg(t+pi)=tgt.

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