20.13 Demonstre as propriedades de periodicidade das funções seno, cosseno e tangente.
Seja
; então
. Segue imediatamente que
.
Também,
. Logo,
.
Também,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as funções trigonométricas têm os seguintes períodos:
– e
são periódicas de período
.
– é periódica de período
.
Usaremos a definição geométrica em que, na circunferência trigonométrica de raio 1, o ponto
–
–
Usaremos a definição geométrica em que, na circunferência trigonométrica de raio 1, o ponto
corresponde ao ângulo
.
Passo 2
Quando somamos
ao ângulo
, percorremos exatamente uma volta completa no círculo e retornamos à mesma posição. Logo,
Isso implica
mostrando que
e
têm período
.
Passo 3
Agora, somar
ao ângulo
leva ao ponto diametralmente oposto na circunferência, isto é,
Dessa forma,
Como
segue-se
provando que
tem período
.