Demonstre que a soma de dois números inteiros ímpares é par.
11. Escreva a demonstração por contradição da seguinte sentença:
Sejam
e
números inteiros. Se
e
satisfazem a equação
então
é ímpar ou
é ímpar.
11. Escreva a demonstração por contradição da seguinte sentença:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, por contradição, que se
e
são inteiros que satisfazem
então pelo menos um entre
ou
é ímpar. O conteúdo usado será prova por contradição e definições de número par e ímpar.
Passo 2
Para iniciar a prova por contradição, assumimos que a conclusão é falsa, ou seja, que nem
nem
são ímpares. Logo, ambos são pares.
Passo 3
Pela definição de número par, existem inteiros
e
tais que
Passo 4
Substituindo em
, obtemos
O lado esquerdo fica um número par, pois é múltiplo de
.
Passo 5
Por outro lado, o número
é ímpar, já que
Isso contradiz o fato de o lado esquerdo ser par.
Resposta
A suposição de que
e
são ambos pares leva a uma contradição, logo a hipótese inicial está correta: em qualquer solução inteira de
, pelo menos um entre
ou
é ímpar.