Demonstre que a soma de dois números inteiros ímpares é par.
11. Escreva a demonstração por contradição da seguinte sentença:
Sejam x e y números inteiros. Se x e y satisfazem a equação
3 x+5 y=153
então x é ímpar ou y é ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por contradição, que se x e y são inteiros que satisfazem
3x + 5y = 153,
então pelo menos um entre x ou y é ímpar. O conteúdo usado será prova por contradição e definições de número par e ímpar.

Passo 2

Para iniciar a prova por contradição, assumimos que a conclusão é falsa, ou seja, que nem x nem y são ímpares. Logo, ambos são pares.

Passo 3

Pela definição de número par, existem inteiros k e l tais que
x = 2k e y = 2l

Passo 4

Substituindo em 3x+5y=153, obtemos
3(2k) + 5(2l) = 6k + 10l = 2l(3k + 5lr)
O lado esquerdo fica um número par, pois é múltiplo de 2.

Passo 5

Por outro lado, o número 153 é ímpar, já que
153 = 2cdot 76 + 1
Isso contradiz o fato de o lado esquerdo ser par.

Resposta

A suposição de que x e y são ambos pares leva a uma contradição, logo a hipótese inicial está correta: em qualquer solução inteira de 3x+5y=153, pelo menos um entre x ou y é ímpar.

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