Prove a seguinte sentença por contraposição.
Seja x um número inteiro. Se x^2+x+1 é par, então x é ímpar.
Certifique-se de que a sua demonstração faz o uso apropriado das Definições 1.5 e 1.6.

Passo 1

Vamos provar, por contraposição, a sentença:
“Seja x um número inteiro. Se x^2+x+1 é par, então x é ímpar.”
O conteúdo central é a prova por contraposição e o uso das definições:
– Definição 1.5: um inteiro n é par se existe kinZ tal que n=2k.
– Definição 1.6: um inteiro n é ímpar se existe kinZ tal que n=2k+1.

Passo 2

Escrevemos a contrapositiva da afirmativa:
“Se x não é ímpar, então x^2+x+1 não é par.”
Como “não ímpar” equivale a “é par” e “não par” equivale a “é ímpar”, reescrevemos:
“Se x é par, então x^2+x+1 é ímpar.”

Passo 3

Suponha que x seja par.
Pela definição 1.5, existe kinZ tal que
x = 2k

Passo 4

Calculemos então x^2+x+1 em função de k:
x^2+x+1 = (2k)^2 + 2k + 1 = 4k^2 + 2k + 1 = 2l(2k^2+kr) + 1
Como 2k^2+k é um inteiro (chame-o de m), obtemos
x^2+x+1 = 2m + 1
Pela definição 1.6, isto mostra que x^2+x+1 é ímpar.

Resposta

Portanto, a contrapositiva é verdadeira, e assim a afirmação original também: se x^2+x+1 é par, então x é ímpar.

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