Prove a seguinte sentença por contraposição.
Seja
um número inteiro. Se
é par, então
é ímpar.
Certifique-se de que a sua demonstração faz o uso apropriado das Definições 1.5 e 1.6.
Certifique-se de que a sua demonstração faz o uso apropriado das Definições 1.5 e 1.6.
Passo 1
Vamos provar, por contraposição, a sentença:
“Seja um número inteiro. Se
é par, então
é ímpar.”
O conteúdo central é a prova por contraposição e o uso das definições:
– Definição 1.5: um inteiro é par se existe
tal que
.
– Definição 1.6: um inteiro é ímpar se existe
tal que
.
“Seja
O conteúdo central é a prova por contraposição e o uso das definições:
– Definição 1.5: um inteiro
– Definição 1.6: um inteiro
Passo 2
Escrevemos a contrapositiva da afirmativa:
“Se não é ímpar, então
não é par.”
Como “não ímpar” equivale a “é par” e “não par” equivale a “é ímpar”, reescrevemos:
“Se é par, então
é ímpar.”
“Se
Como “não ímpar” equivale a “é par” e “não par” equivale a “é ímpar”, reescrevemos:
“Se
Passo 3
Suponha que
seja par.
Pela definição 1.5, existe tal que
Pela definição 1.5, existe
Passo 4
Calculemos então
em função de
:
Como
é um inteiro (chame-o de
), obtemos
Pela definição 1.6, isto mostra que
é ímpar.
Resposta
Portanto, a contrapositiva é verdadeira, e assim a afirmação original também: se
é par, então
é ímpar.