27 Demonstre que
\sqrt{n^{2}+n}-n=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}
[Dica: Multiplique a expressão \sqrt{n^{2}+n}-n por \left(\sqrt{n^{2}+n}+n\right) /\left(\sqrt{n^{2}+n}+n\right). Em seguida, coloque n em evidência
no numerador e no denominador da expressão resultante.]
[Essa identidade foi usada no Exemplo 1.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade
\sqrt{n^{2}+n}-n=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}
usando multiplicação pelo conjugado e depois fatoração de n.

Passo 2

Multiplicamos \sqrt{n^{2}+n}-n pelo conjugado \sqrt{n^{2}+n}+n sobre si mesmo para criar uma diferença de quadrados:
\sqrt{n^{2}+n}-n =\frac{(\sqrt{n^{2}+n}-n)\bigl(\sqrt{n^{2}+n}+n\bigr)}{\sqrt{n^{2}+n}+n} =\frac{n^{2}+n - n^{2}}{\sqrt{n^{2}+n}+n} =\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}+n}.

Passo 3

No denominador, colocamos n em evidência dentro da raiz e no termo isolado:
\sqrt{n^{2}+n} =n\,\sqrt{1+\frac{1}{n}},
portanto
\sqrt{n^{2}+n}+n =n\Bigl(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\Bigr).
Substituindo em \frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}+n} e cancelando n, vem
\frac{n}{n\bigl(\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}.

Resposta

\sqrt{n^{2}+n}-n=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1}.

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