Demonstre que, para todo número real
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em
, o oposto do oposto de qualquer número real
é o próprio
. Vamos usar as propriedades de grupo abeliano (adição em
): existência de elemento neutro
, existência de inverso aditivo e unicidade desse inverso, além da comutatividade da adição.
Passo 2
Por definição de inverso aditivo, para cada
existe um elemento
tal que
Como a adição em
é comutativa, também vale
Passo 3
A equação
mostra que
é um inverso aditivo de
. Mas, pela unicidade do inverso aditivo em um grupo abeliano, esse inverso único de
só pode ser
. Logo, devemos ter