Demonstre que, para todo número real x,-(-x)=x.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em \mathbb{R}, o oposto do oposto de qualquer número real x é o próprio x. Vamos usar as propriedades de grupo abeliano (adição em \mathbb{R}): existência de elemento neutro 0, existência de inverso aditivo e unicidade desse inverso, além da comutatividade da adição.

Passo 2

Por definição de inverso aditivo, para cada x\in\mathbb{R} existe um elemento -x tal que
x + (-x) = 0.
Como a adição em \mathbb{R} é comutativa, também vale
(-x) + x = 0.

Passo 3

A equação
(-x) + x = 0
mostra que x é um inverso aditivo de -x. Mas, pela unicidade do inverso aditivo em um grupo abeliano, esse inverso único de -x só pode ser -(-x). Logo, devemos ter
-(-x) = x.

Resposta

\forall\,x\in\mathbb{R}:\quad -(-x)=x.

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