Demonstre que, para todos os números reais x, y e z, se x+ z=y+z, então x=y.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a propriedade de cancelamento na soma de números reais, ou seja, provar que, para todo x,y,z\in\mathbb{R},
x+z=y+z\quad\Longrightarrow\quad x=y.
Vamos usar os axiomas de grupo abeliano sobre \mathbb{R}: associatividade da adição, existência do inverso aditivo e elemento neutro, além da propriedade de adição em igualdade.

Passo 2

Partindo de
x+z=y+z,
somamos -z a ambos os lados, usando que, se a=b, então a+c=b+c. Obtemos
(x+z)+(-z) \;=\;(y+z)+(-z).

Passo 3

Pela associatividade da adição, reagrupamos os parênteses:
x+\bigl(z+(-z)\bigr)\;=\;y+\bigl(z+(-z)\bigr).

Passo 4

Pelo axioma do inverso aditivo, z+(-z)=0, e pelo elemento neutro, w+0=w para todo w. Então a igualdade fica
x+0 \;=\;y+0 \quad\Longrightarrow\quad x=y.

Resposta

x=y

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