Demonstre que, para todos os números reais x e y, x=y se e somente se x-y=0.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que, para quaisquer números reais x e y, vale a equivalência
x = y \quad\Longleftrightarrow\quad x - y = 0.
Para isso usaremos as propriedades do grupo aditivo (\mathbb{R},+): elemento neutro 0, inverso aditivo e associatividade.

Passo 2

Suponha x = y. Então
x - y = x + (-y).
Como x = y, podemos substituir e obter
x + (-y) = y + (-y).
Pela definição de inverso aditivo, y + (-y)=0. Logo
x - y = 0.

Passo 3

Agora suponha x - y = 0. Escrevendo em termos de soma,
x + (-y) = 0.
Somamos y em ambos os lados da igualdade:
\bigl(x + (-y)\bigr) + y = 0 + y.
Pela associatividade,
x + \bigl((-y) + y\bigr) = y.
Como (-y)+y=0 e x+0=x, segue
x = y.

Resposta

Ficou demonstrado que x=y se e somente se x-y=0.

Exercícios de Livros Relacionados