Demonstre que, para todos os números reais
e
se e somente se
.
Passo 1
O enunciado quer mostrar que, para quaisquer números reais
e
, vale a equivalência
Para isso usaremos as propriedades do grupo aditivo
: elemento neutro
, inverso aditivo e associatividade.
Passo 2
Suponha
. Então
Como
, podemos substituir e obter
Pela definição de inverso aditivo,
. Logo
Passo 3
Agora suponha
. Escrevendo em termos de soma,
Somamos
em ambos os lados da igualdade:
Pela associatividade,
Como
e
, segue
Resposta
Ficou demonstrado que
se e somente se
.