Demonstre, usando o princípio da indução finita.
2^0+2^1+2^2+ldots+2^n-1=2^n-1, forall n in N^*.

Passo 1

O enunciado pede para provar, por indução finita, que para todo ninN^* vale a igualdade
2^0 + 2^1 + 2^2 + dots + 2^n-1 ;=; 2^n - 1
O conteúdo é o princípio de indução: mostrar que a propriedade vale para um caso inicial e que, se vale para um k, então vale para k+1.

Passo 2

Base da indução ( n=1). À esquerda temos
2^0 = 1,
e à direita
2^1 - 1 = 2 - 1 = 1
Logo a igualdade é verdadeira em n=1.

Passo 3

Hipótese de indução. Suponha que, para algum kinN^*, esteja valendo
2^0 + 2^1 + dots + 2^k-1 = 2^k - 1

Passo 4

Passo indutivo ( kto k+1). Considere a soma até n=k+1:
2^0 + 2^1 + dots + 2^k-1 + 2^k
Pela hipótese de indução, os primeiros k termos somam 2^k-1. Logo
2^0 + dots + 2^k-1 + 2^k = (2^k - 1) + 2^k = 2cdot2^k - 1 = 2^k+1 - 1
Isto mostra que, se a fórmula vale para n=k, vale também para n=k+1.

Resposta

Por indução finita concluímos que
2^0 + 2^1 + 2^2 + dots + 2^n-1 = 2^n - 1
para todo ninN^*.

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