Demonstre, usando o princípio da indução finita.
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, por indução finita, que para todo
vale a igualdade
O conteúdo é o princípio de indução: mostrar que a propriedade vale para um caso inicial e que, se vale para um
, então vale para
.
Passo 2
Base da indução (
). À esquerda temos
e à direita
Logo a igualdade é verdadeira em
.
Passo 3
Hipótese de indução. Suponha que, para algum
, esteja valendo
Passo 4
Passo indutivo (
). Considere a soma até
:
Pela hipótese de indução, os primeiros
termos somam
. Logo
Isto mostra que, se a fórmula vale para
, vale também para
.
Resposta
Por indução finita concluímos que
para todo
.