Demonstre, usando o princípio da indução finita.
(1+1) cdot(1+12) cdot(1+13) cdot ldots cdot(1+1n)=n+1, forall n in N *.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, por indução finita, que para todo ninN^* vale
(1+1),l(1+tfrac12r),l(1+tfrac13r)cdotsl(1+tfrac1nr)=n+1
O conteúdo a aplicar é o princípio da indução matemática, que envolve um caso base e um passo indutivo.

Passo 2

Caso base ( n=1): à esquerda temos
(1+1)=2
e à direita 1+1=2. Logo a igualdade vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para um kinN^* qualquer já valha
(1+1),l(1+tfrac12r)cdotsl(1+tfrac1kr)=k+1

Passo 4

Passo indutivo ( n=k+1): multiplica-se ambos os lados da hipótese por l(1+tfrac1k+1r). Obtém-se
(1+1),l(1+tfrac12r)cdotsl(1+tfrac1kr),l(1+tfrac1k+1r) =(k+1),l(1+tfrac1k+1r)
Mas
(k+1),l(1+tfrac1k+1r)=(k+1),(k+1)+1k+1=k+2
Logo a fórmula também vale para n=k+1.

Passo 5

Pelo princípio da indução finita, a igualdade
(1+1),l(1+tfrac12r)cdotsl(1+tfrac1nr)=n+1
é verdadeira para todo ninN^*.

Resposta

A igualdade está demonstrada: para todo ninN^*,
(1+1),l(1+tfrac12r),l(1+tfrac13r)cdotsl(1+tfrac1nr)=n+1

Exercícios de Livros Relacionados