Demostrar que para todo n natural verifica-se: 3^2 n+2+2^6 n+1 equiv 0(bmod 11).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo ninN,
3^2n+2 + 2^6n+1 equiv 0 pmod11
O conteúdo aqui é aritmética modular e propriedades de potências.

Passo 2

Reescrevemos a potência de base 3 separando o fator constante:
3^2n+2 = 3^2 cdot 3^2n = 9 cdot (3^2)^n = 9 cdot 9^n

Passo 3

Reescrevemos a potência de base 2 de forma análoga:
2^6n+1 = 2 cdot 2^6n = 2 cdot (2^6)^n = 2 cdot 64^n
Como 64 equiv 9 pmod11, segue
2^6n+1 equiv 2 cdot 9^n pmod11

Passo 4

Somando as duas partes em bmod,11:
3^2n+2 + 2^6n+1 equiv 9cdot9^n + 2cdot9^n = (9+2),9^n = 11cdot 9^n equiv 0 pmod11

Resposta

Logo, para todo ninN vale
3^2n+2 + 2^6n+1 equiv 0 pmod11

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