Dentre todos os números reais de soma 8, determine aqueles cujo produto é máximo.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos dois números reais cuja soma é 8 e cujo produto seja o maior possível.
O conteúdo envolvido é otimização de função com restrição simples. Vamos usar cálculo de derivada para localizar o ponto de máximo.

Passo 2

Sejam x e y os dois números reais. A restrição de soma é
x + y = 8
Queremos maximizar o produto
P = x,y

Passo 3

Usamos a restrição para eliminar y. De x + y = 8 segue
y = 8 - x
Substituindo em P obtemos a função de uma só variável
P(x) = x,(8 - x) = -x^2 + 8x

Passo 4

Calculamos a derivada de P(x) e igualamos a zero para achar pontos críticos:
P'(x) = ddxl(-x^2 + 8xr) = -2x + 8,
-2x + 8 = 0 Longrightarrow x = 4

Passo 5

Verificamos que P''(x) = -2 < 0, logo x=4 é ponto de máximo. Então
y = 8 - x = 8 - 4 = 4

Resposta

Os dois números são 4 e 4.

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