Num triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm está inscrito um retângulo. Determine o retângulo de área máxima, sabendo que a base do retângulo está sobre a base do triângulo.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo isósceles de base 6 cm e altura 4 cm, e queremos inscrever um retângulo cuja base está sobre a base do triângulo, de modo a maximizar sua área. Vamos usar semelhança de triângulos e cálculo de máximo.

Passo 2

Seja x a largura (base) e y a altura do retângulo. A uma altura y acima da base, a largura disponível no triângulo, por semelhança, é
x = 6l(1 - y4r) = 6 - 32,y

Passo 3

A área do retângulo em função de y é
A(y) = x,y = l(6 - tfrac32yr),y = 6y - tfrac32y^2

Passo 4

Para encontrar o máximo, derivamos em relação a y e igualamos a zero:
A'(y) = 6 - 3y = 0 Longrightarrow y = 2 cm
Como A''(y) = -3<0, esse ponto é de máximo.

Passo 5

Substituindo y=2 em x = 6 - tfrac32y, obtemos
x = 6 - tfrac32cdot2 = 3 cm

Resposta

O retângulo de área máxima tem base 3 cm, altura 2 cm e área 6 cm^2.

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