Derivação logartmica. Derivar as seguintes funções, tendo previamente tomado o logaritmo de ambos os membros da equação:
y=(x^2-1)^3(x^2+2 x)^4

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada de
y=(x^2-1)^3,(x^2+2x)^4
usando derivação logarítmica. Vamos precisar do fato de que, se y>0, então
ln y;=;lnl((x^2-1)^3(x^2+2x)^4r)
e em seguida usar derivação implícita combinada com as regras de derivada do ln.

Passo 2

Tomando o logaritmo natural de ambos os lados temos
ln y = 3ln(x^2-1) + 4ln(x^2+2x)

Passo 3

Derivando implicitamente em relação a x:
1y,y' ;=; 3cdotddxl[ln(x^2-1)r];+;4cdotddxl[ln(x^2+2x)r]
Como ddxln(u)=u'u, obtemos
1y,y' = 3cdot2xx^2-1 + 4cdot2x+2x^2+2x = 6xx^2-1 + 8(x+1)x^2+2x

Passo 4

Isolando y':
y' = y;l(6xx^2-1 + 8(x+1)x^2+2xr)

Passo 5

Substituindo y=(x^2-1)^3(x^2+2x)^4:
y'=(x^2-1)^3(x^2+2x)^4 l(6xx^2-1 + 8(x+1)x^2+2xr)
Agora simplificamos cada termo cancelando uma potência de cada fator:
y'=(x^2-1)^2(x^2+2x)^3l[6x(x^2+2x)+8(x+1)(x^2-1)r]

Passo 6

Expandindo e somando os termos do colchete:
6x(x^2+2x)=6x^3+12x^2, 8(x+1)(x^2-1)=8(x^3+x^2-x-1)=8x^3+8x^2-8x-8
Somando:
6x^3+12x^2+8x^3+8x^2-8x-8=14x^3+20x^2-8x-8=2,(7x^3+10x^2-4x-4)
Logo
y'=2,(7x^3+10x^2-4x-4),(x^2-1)^2,(x^2+2x)^3

Resposta

y' = 2,(7x^3+10x^2-4x-4),(x^2-1)^2,(x^2+2x)^3

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