Verificar as fórmulas de integração dadas abaixo. As fórmulas (a) até (g) são essencialmente repetições de fórmulas básicas de integração. As demais podem ser reduzidas a essas sete com o emprego apropriado de substituição,
integraçä̃o pờ pårtés, frações parciais, e identidades trigonométricas; achando o resultadó, verificá-lo por derivação.
integral tg x d x=log |sec x|+C

Passo 1

Temos que calcular a integral
integral tan x ,dx
Esse é um caso clássico em que usamos a identidade tan x = sin xcos x e fazemos uma substituição simples para chegar a um logaritmo.

Passo 2

Escrevendo em termos de seno e cosseno e escolhendo u=cos x:
integral tan x ,dx =integral sin xcos x,dx
Como u=cos x implica du=-sin x,dx, temos sin x,dx=-du. A integral vira
integral sin xcos x,dx =-integral 1u,du

Passo 3

Integrando -integral 1u,du obtemos
-lnl|ur| + C =-lnl|cos xr|+C
Usando a identidade -ln|cos x|=lnl|sec xr|, concluímos
integral tan x,dx=lnl|sec xr|+C

Passo 4

Para verificar, derivamos o resultado:
ddxl[lnl|sec xr|r] =1sec xcdotddx(sec x) =1sec xcdot(sec xtan x) =tan x,
o que confirma que a integral está correta.

Resposta

integral tan x,dx=lnl|sec xr|+C

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