A derivada de e^{-x^{2}}=f(g(x)), onde f(y)=e^{y} e g(x)=-x^{2}, é dada por
(a) e^{-2 x}
(b) e^{-x^{2}}
(c) -2 e^{-x^{2}}
(d) -2 x e^{-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de \displaystyle e^{-x^{2}}, sabendo que isso é uma composição f(g(x)) com
f(y)=e^{y}
e
g(x)=-x^{2}.
O conteúdo aqui é a regra da cadeia, que diz que
\frac{d}{dx}f(g(x)) = f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).

Passo 2

Calculamos as derivadas de cada parte:
– Para f(y)=e^{y}, temos
f'(y)=e^{y}.
– Para g(x)=-x^{2}, temos
g'(x) = -2x.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}e^{-x^{2}} = f'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x) = e^{\,g(x)}\cdot(-2x) = e^{-x^{2}}\cdot(-2x) = -2x\,e^{-x^{2}}.

Resposta

(d) -2x\,e^{-x^{2}}

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