A derivada segunda
de uma função é dada. Use essa informação para determinar os intervalos em que a concavidade da curva de
é para cima e os intervalos em que a concavidade é para baixo e determine todos os valores de
para os quais existe um ponto de inflexão. [Não é necessário determinar
nem a coordenada y dos pontos de inflexão.]
Passo 1
O enunciado fornece a derivada segunda
e pede para determinar os intervalos em que a concavidade de
é para cima (
) e para baixo (
), além de achar os valores de
onde ocorrem pontos de inflexão. Para isso precisaremos analisar o sinal de
, estudando zeros do numerador e verificando o sinal em cada intervalo.
Passo 2
Primeiro observamos o domínio de
. O denominador é
que é sempre positivo para todo
. Portanto
está definida em todo
.
Passo 3
Encontramos os zeros de
resolvendo o numerador igual a zero:
Fatorando, temos
cujas raízes são
Passo 4
Agora analisamos o sinal de
em cada intervalo determinado por
e
. Como o denominador é sempre positivo, o sinal de
é o mesmo do numerador
.
- Para
: ambos e tornam , logo . - Para
: mas , logo e . - Para
: e dão , ou seja .
Passo 5
Os pontos de inflexão ocorrem quando
muda de sinal, isto é, em
e em
.
Resposta
A concavidade de
é para cima em
para baixo em
e existem pontos de inflexão em