A derivada segunda f^{\prime \prime}(x) de uma função é dada. Use essa informação para determinar os intervalos em que a concavidade da curva de f(x) é para cima e os intervalos em que a concavidade é para baixo e determine todos os valores de x para os quais existe um ponto de inflexão. [Não é necessário determinar f(x) nem a coordenada y dos pontos de inflexão.]
f^{\prime \prime}(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado fornece a derivada segunda
f''(x)=\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}+4}
e pede para determinar os intervalos em que a concavidade de f é para cima ( f''>0) e para baixo ( f''<0), além de achar os valores de x onde ocorrem pontos de inflexão. Para isso precisaremos analisar o sinal de f''(x), estudando zeros do numerador e verificando o sinal em cada intervalo.

Passo 2

Primeiro observamos o domínio de f''. O denominador é
x^{2}+4
que é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}. Portanto f''(x) está definida em todo \mathbb{R}.

Passo 3

Encontramos os zeros de f'' resolvendo o numerador igual a zero:
x^{2}+x-2=0.
Fatorando, temos
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)=0,
cujas raízes são
x=-2\quad\text{e}\quad x=1.

Passo 4

Agora analisamos o sinal de f'' em cada intervalo determinado por -2 e 1. Como o denominador é sempre positivo, o sinal de f'' é o mesmo do numerador (x+2)(x-1).
  • Para x<-2: ambos x+2<0 e x-1<0 tornam (x+2)(x-1)>0, logo f''(x)>0.
  • Para -2<x<1: x+2>0 mas x-1<0, logo (x+2)(x-1)<0 e f''(x)<0.
  • Para x>1: x+2>0 e x-1>0 dão (x+2)(x-1)>0, ou seja f''(x)>0.

Passo 5

Os pontos de inflexão ocorrem quando f'' muda de sinal, isto é, em x=-2 e em x=1.

Resposta

A concavidade de f é para cima em
(-\infty,-2)\cup(1,\infty),
para baixo em
(-2,1),
e existem pontos de inflexão em
x=-2\quad\text{e}\quad x=1.

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