Use o teste da derivada segunda para determinar os máximos e mínimos relativos da função.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da derivada segunda e determinar os máximos e mínimos relativos da função
que está definida para
. O conteúdo é cálculo de derivadas, critério de extremum pelo sinal de
ou pelo valor de
.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada usando a forma
. Se fizermos
então
e
Passo 3
Os pontos críticos vêm de
ou de descontinuidade. Como
não pertence ao domínio, só consideramos
Passo 4
Agora calculemos a segunda derivada partindo de
Seja
. Então
e
Passo 5
Aplicando o teste da segunda derivada:
-
Em
: concavidade para baixo, logo há máximo relativo em. -
Em
: o teste é inconclusivo. Para ver se há extremum, verificamos o sinal deao redor de . Como para , o sinal de perto de é dado por , que é positivo dos dois lados de . Portanto não muda de sinal em , logo não há extremum aí (é ponto de inflexão).
Passo 6
O único extremo relativo é um máximo em
. Não há nenhum mínimo relativo.
Resposta
Ocorre um máximo relativo em
e não há mínimo relativo.