Use o teste da derivada segunda para determinar os máximos e mínimos relativos da função.
f(x)=\frac{(x-2)^{3}}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da derivada segunda e determinar os máximos e mínimos relativos da função
f(x)=\frac{(x-2)^{3}}{x^{2}},
que está definida para x\neq0. O conteúdo é cálculo de derivadas, critério de extremum pelo sinal de f' ou pelo valor de f''.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada usando a forma f(x)=(x-2)^3\cdot x^{-2}. Se fizermos
u=(x-2)^3,\quad v=x^{-2},
então
u'=3(x-2)^2,\quad v'=-2x^{-3},
e
f'(x)=u'\,v+u\,v' =3(x-2)^2\,x^{-2}-(x-2)^3\,2x^{-3} =\frac{(x-2)^2\bigl[3x-2(x-2)\bigr]}{x^3} =\frac{(x-2)^2(x+4)}{x^3}.

Passo 3

Os pontos críticos vêm de f'(x)=0 ou de descontinuidade. Como x=0 não pertence ao domínio, só consideramos
(x-2)^2(x+4)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2\quad(\text{multiplicidade }2),\quad x=-4.

Passo 4

Agora calculemos a segunda derivada partindo de
f'(x)=\frac{(x-2)^2(x+4)}{x^3} =(x-2)^2(x+4)\,x^{-3}.
Seja g(x)=(x-2)^2(x+4). Então
g'(x)=2(x-2)(x+4)+(x-2)^2 =(x-2)\bigl[2(x+4)+(x-2)\bigr] =3(x-2)(x+2),
e
f''(x) =g'(x)\,x^{-3}+g(x)\,(-3)x^{-4} =\frac{3(x-2)(x+2)\,x-3(x-2)^2(x+4)}{x^4} =\frac{24(x-2)}{x^4}.

Passo 5

Aplicando o teste da segunda derivada:
  1. Em x=-4:
    f''(-4)=\frac{24(-4-2)}{(-4)^4} =\frac{24\cdot(-6)}{256} =-\frac{9}{16}<0,
    concavidade para baixo, logo há máximo relativo em x=-4.
  2. Em x=2:
    f''(2)=\frac{24(2-2)}{2^4}=0,
    o teste é inconclusivo. Para ver se há extremum, verificamos o sinal de f' ao redor de 2. Como (x-2)^2>0 para x\neq2, o sinal de f' perto de 2 é dado por \sgn\bigl((x+4)/x^3\bigr), que é positivo dos dois lados de 2. Portanto f' não muda de sinal em x=2, logo não há extremum aí (é ponto de inflexão).

Passo 6

O único extremo relativo é um máximo em x=-4. Não há nenhum mínimo relativo.

Resposta

Ocorre um máximo relativo em
x=-4,\quad f(-4)=\frac{(-6)^3}{16}=-\frac{27}{2},
e não há mínimo relativo.

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