Derivar as fauções seguintes, estabelecendo as correspondentes fórmulas de integração:
(e) sen xx.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
f(x)=sen xx
e, em seguida, escrever a fórmula de integração correspondente, ou seja, identificar uma primitiva de f'(x).

Passo 2

Para achar f'(x) usamos a regra do quociente. Se
f(x)=u(x)v(x),
então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Aqui u(x)=sen x e v(x)=x. Logo u'(x)=cos x e v'(x)=1. Substituindo,
f'(x) =cos xcdot x - sen xcdot 1x^2 =xcos x-sen xx^2

Passo 3

Portanto o resultado da derivada é
f'(x)=xcos x-sen xx^2

Passo 4

Como integração é a operação inversa da derivação, concluímos que uma primitiva de f'(x) é f(x). Assim,
integral xcos x-sen xx^2,dx =sen xx+C

Resposta

f'(x)=xcos x-sen xx^2, integral xcos x-sen xx^2,dx=sen xx+C

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