Descreva os elementos do conjunto A^{*} para estes valores de A.
{0,01}

Passo 1

O enunciado pede para descrever o fecho de Kleene A^{*} quando
A = \{0,01\}.
O conteúdo envolvido é a definição de A^{*} (conjunto de todas as concatenações de zero ou mais palavras de A). Para resolver, vamos usar a definição de A^{n} e depois tomar a união sobre todos os n\ge0.

Passo 2

Por definição,
A^{*} \;=\; \bigcup_{n=0}^{\infty} A^{n},
onde
A^{0} = \{\varepsilon\},
e para n\ge1,
A^{n} = \{\,w_{1}w_{2}\cdots w_{n}\mid w_{i}\in A\}.

Passo 3

Vamos listar os primeiros A^{n}:
A^{0} = \{\varepsilon\}.

Passo 4

A^{1} = A = \{0,\,01\}.

Passo 5

A^{2} = \{\,x y\mid x\in A,\;y\in A\} = \{0\cdot0,\;0\cdot01,\;01\cdot0,\;01\cdot01\} = \{00,\;001,\;010,\;0101\}.

Passo 6

A^{3} = \{\,u v w\mid u,v,w\in A\} = \{000,\;0001,\;0010,\;00101,\;0100,\;01001,\;01010,\;010101\}.
Repare que a cada passo a gente concatena um novo bloco que é ou “0” ou “01”.

Passo 7

Em geral, qualquer elemento de A^{*} é obtido concatenando-se, em ordem, um certo número (talvez zero) de blocos “0” ou “01”.

Resposta

A^{*} = \bigl\{\varepsilon\bigr\} \;\cup\;\{0,\,01\} \;\cup\;\{00,\,001,\,010,\,0101\} \;\cup\;\{000,\,0001,\,0010,\,00101,\,0100,\,01001,\,01010,\,010101\} \;\cup\;\cdots
isto é, todas as palavras formadas por concatenações de “0” e “01”.

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