Descreva as superfícies de nível, mas não faça os gráficos.
F(x, y, z)=x^2+y^2+z^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função Fcolon R^3 to R definida por
F(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2
e pede para descrever as superfícies de nível, ou seja, os conjuntos
(x,y,z)in R^3 mid F(x,y,z)=k
para um dado valor real k. Vamos usar a definição de superfície de nível e interpretar geometricamente a equação resultante.

Passo 2

Para um valor fixo kin R, a superfície de nível F(x,y,z)=k é dada por
x^2 + y^2 + z^2 = k
Reconhecemos nessa equação a forma geral da esfera centrada na origem em R^3, cujo raio é raizk (quando isso fizer sentido).

Passo 3

Agora, analisamos os possíveis valores de k:
  • Se k<0, não existe (x,y,z) real que satisfaça x^2+y^2+z^2=k, pois a soma de quadrados é sempre não negativa. Logo, a superfície de nível é o conjunto vazio.
  • Se k=0, a única solução de
    x^2 + y^2 + z^2 = 0
    é (x,y,z)=(0,0,0). Portanto, a superfície de nível é o ponto origem.
  • Se k>0, a equação
    x^2 + y^2 + z^2 = k
    descreve uma esfera de centro na origem e raio raizk.

Resposta

Para k<0: superfície de nível vazia.
Para k=0: ponto (0,0,0).
Para k>0: esfera de centro na origem e raio raizk, dada por
x^2 + y^2 + z^2 = k

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