Descreva como transformar o gráfico de uma função monomial f(x)=x^{n} em um gráfico da função polinomial dada. Você pode esboçar o gráfico da função ou utilizar uma calculadora apropriada. Verifique onde o gráfico passa no eixo vertical y (o intercepto).
g(x)=-\frac{1}{2}(x+1)^{3}+2

Passo 1

O enunciado pede para obter o gráfico de
g(x) = -\tfrac12\,(x+1)^{3} + 2
a partir do monômio de base
f(x)=x^{3},
usando transformações geométricas (translação, reflexão, escala) e, por fim, determinar o intercepto com o eixo y.

Passo 2

Observe que
g(x)=-\tfrac12\,\bigl(x+1\bigr)^{3}+2
pode ser visto como a composição de três operações sobre f(x)=x^{3}:
– uma translação horizontal,
– uma reflexão no eixo x seguida de compressão vertical,
– uma translação vertical.

Passo 3

Definimos funções intermediárias para visualizar cada etapa:
h_{1}(x)=f(x+1)=(x+1)^{3},
que corresponde a deslocar o gráfico de f uma unidade para a esquerda.
h_{2}(x)=-\tfrac12\,h_{1}(x)=-\tfrac12\,(x+1)^{3},
que reflete o gráfico em torno do eixo x e comprime verticalmente por um fator 1/2.
h_{3}(x)=h_{2}(x)+2=-\tfrac12\,(x+1)^{3}+2,
que desloca o resultado 2 unidades para cima, produzindo exatamente g(x).

Passo 4

Para encontrar o intercepto em y, basta calcular g(0):
g(0) = -\tfrac12\,(0+1)^{3} + 2 = -\tfrac12 + 2 = \tfrac{3}{2}.

Resposta

O gráfico de g é obtido a partir de f(x)=x^3 aplicando, nesta ordem,
  1. translação de 1 unidade para a esquerda;
  2. reflexão em torno do eixo x e compressão vertical de fator 1/2;
  3. translação de 2 unidades para cima.
O intercepto com o eixo y é \bigl(0,\tfrac{3}{2}\bigr).

Exercícios de Livros Relacionados