5.10.8 Desenvolva uma série assintótica para
Considere
real e positivo.
Passo 1
O enunciado pede a expansão assintótica, para
, do integral de Laplace-type
O conteúdo principal aqui é o Lema de Watson, que nos permite desenvolver
em potências de
a partir da expansão de Taylor de
em
.
Passo 2
Lema de Watson (forma simples). Se
então
Passo 3
Expandimos
usando a série binomial para expoente
:
Logo, na notação do Lema de Watson, todos os coeficientes ímpares são zero e
Passo 4
Aplicando o Lema de Watson, apenas os termos pares sobrevivem:
Passo 5
Escrevendo os primeiros termos:
e, em forma geral,