5.10.8 Desenvolva uma série assintótica para
integral0^infty e^-x v(1+v^2)^-2 d v
Considere x real e positivo.
Resposta: 1x-2 !x^3+4 !x^5-cdots+(-1)^n(2 n) !x^2 n+1

Passo 1

O enunciado pede a expansão assintótica, para I(x)=integral0^inftye^-xv,(1+v^2)^-2,dv , do integral de Laplace-type
O conteúdo principal aqui é o Lema de Watson, que nos permite desenvolver em potências de a partir da expansão de Taylor de em .

Passo 2

Lema de Watson (forma simples). Se
f(v)sim sumk=0^inftyak,v^k(vto0^+),
então
integral0^inftye^-xvf(v),dvsim sumk=0^inftyak,k!x^,k+1 (xto+infty)

Passo 3

Expandimos
f(v)=(1+v^2)^-2
usando a série binomial para expoente (1+v^2)^-2=sumn=0^inftybinom-2n(v^2)^n =sumn=0^infty(-1)^n,(n+1),v^2n :
a2n=(-1)^n,(n+1), a2n+1=0
Logo, na notação do Lema de Watson, todos os coeficientes ímpares são zero e

Passo 4

Aplicando o Lema de Watson, apenas os termos pares sobrevivem:
I(x)sim sumn=0^inftya2n,(2n)!x^2n+1 =sumn=0^infty(-1)^n,(n+1),(2n)!x^,2n+1

Passo 5

Escrevendo os primeiros termos:
I(x)sim 1x -4,1x^3 +24,1x^5 -,cdots
e, em forma geral,
boxed integral0^inftye^-xv,(1+v^2)^-2,dv ;sim; sumn=0^infty(-1)^n,(n+1),(2n)!x^2n+1 (xto+infty)

Resposta

integral0^inftye^-xv(1+v^2)^-2,dv sim sumn=0^infty(-1)^n,(n+1),(2n)!x^2n+1 ,=, 1x-4x^3+24x^5-cdots

Exercícios de Livros Relacionados