Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo ( -\pi, \pi ), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo ( x=-\pi, x=\pi ); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo ( -\pi, \pi )):
f(x)=\left\{\begin{array}{l}a x \text { quando }-\pi<x \leqslant 0, \\\ b x \text { quando } 0 \leqslant x<\pi .\end{array}\right.
Examinar os casos particulares: c) a=0, b=1;

Passo 1

No enunciado, para o caso particular a=0\), \(b=1\), temos \[f(x)= \begin{cases} 0,& -\pi<x\le0,\\\ x,& 0\le x<\pi. \end{cases}
Queremos a série de Fourier de período 2\pi\] em \((-\pi,\pi), ou seja calcular os coeficientes \displaystyle a_0,\;a_n,\;b_n por integrais e depois montar \displaystyle f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n\cos nx + b_n\sin nx\bigr).

Passo 2

Calcular
a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\,dx =\frac1\pi\int_{0}^{\pi}x\,dx =\frac1\pi\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_{0}^{\pi} =\frac{\pi}{2}.
Logo o termo constante é
\frac{a_0}{2}=\frac{\pi}{4}.

Passo 3

Calcular
a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)\,dx =\frac1\pi\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx.
Fazendo integração por partes u=x, dv=\cos(nx)\,dx obtém‐se
\int_{0}^{\pi}x\cos(nx)\,dx =\frac{(-1)^n-1}{n^2},
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a_n=\frac{(-1)^n-1}{\pi\,n^2}.

Passo 4

Calcular
b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)\,dx =\frac1\pi\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx.
Por partes u=x, dv=\sin(nx)\,dx vem
\int_{0}^{\pi}x\sin(nx)\,dx =-\frac{(-1)^n}{n},
de onde
b_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 5

Substituindo na forma geral, a série fica
f(x)\sim\frac{\pi}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{(-1)^n-1}{\pi\,n^2}\cos(nx) +\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\Bigr).
Observe que (-1)^n-1=0 para n par, então só há termos de cosseno de ordem ímpar.

Passo 6

A soma S(x) da série coincide com f(x) em todo x onde f é contínua -\pi<x<0 ou 0<x<\pi. Nos pontos de descontinuidade e extremos do período vale a média dos limites laterais:
S(0)=\frac{f(0^-)+f(0^+)}{2}=\frac{0+0}{2}=0,
S(\pi)=S(-\pi)=\frac{f(\pi^-)+f(-\pi^+)}{2} =\frac{\pi+0}{2}=\frac{\pi}{2}.
O gráfico de f em (-\pi,\pi) é zero até x=0 e cresce linearmente até x=\pi. A soma S(x) é a extensão periódica dessa “meia-reta”, dando um perfil em “dentes de serra” suave, de período 2\pi.

Resposta

A série de Fourier de
f(x)= \begin{cases} 0,& -\pi<x\le0,\\\ x,& 0\le x<\pi \end{cases}
em (-\pi,\pi) é
f(x)\sim\frac{\pi}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{(-1)^n-1}{\pi\,n^2}\cos(nx) +\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\Bigr).
Nos pontos críticos a soma vale
S(0)=0, \quad S(\pi)=S(-\pi)=\frac{\pi}{2}.

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