Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo ( -\pi, \pi ), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo ( x=-\pi, x=\pi ); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo ( -\pi, \pi )): f(x)=\left\{\begin{array}{l}a x \text { quando }-\pi<x \leqslant 0, \\\ b x \text { quando } 0 \leqslant x<\pi .\end{array}\right.
Examinar os casos particulares: c) a=0, b=1;
Passo 1
No enunciado, para o caso particular a=0\), \(b=1\), temos
\[f(x)= \begin{cases} 0,& -\pi<x\le0,\\\ x,& 0\le x<\pi. \end{cases}
Queremos a série de Fourier de período 2\pi\] em \((-\pi,\pi), ou seja calcular os coeficientes \displaystyle a_0,\;a_n,\;b_n por integrais e depois montar \displaystyle f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\bigl(a_n\cos nx + b_n\sin nx\bigr).
Observe que (-1)^n-1=0 para n par, então só há termos de cosseno de ordem ímpar.
Passo 6
A soma S(x) da série coincide com f(x) em todo x onde f é contínua -\pi<x<0 ou 0<x<\pi. Nos pontos de descontinuidade e extremos do período vale a média dos limites laterais:
O gráfico de f em (-\pi,\pi) é zero até x=0 e cresce linearmente até x=\pi. A soma S(x) é a extensão periódica dessa “meia-reta”, dando um perfil em “dentes de serra” suave, de período 2\pi.