Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo (
), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo (
); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo (
)):
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Fourier de
no intervalo
, a soma da série nos pontos de descontinuidade (que ocorrem em
) e a descrição do gráfico da função original e da série periodizada de período
.
Conteúdo que vamos usar: expansão em série de Fourier em , observando que
é função ímpar, e a fórmula para os coeficientes de seno
Conteúdo que vamos usar: expansão em série de Fourier em
reduzida ao intervalo
quando
é ímpar.
Passo 2
Como
é ímpar, temos
e
para todo
.
Só resta calcular
Só resta calcular
Passo 3
Usamos a representação
e a fórmula
Então
onde
Passo 4
Como
e
, obtemos
Logo
Multiplicando por
vem
Passo 5
Portanto a série de Fourier é só em senos:
Passo 6
Nos pontos de descontinuidade da extensão periódica—em
—a série converge para a média dos limites laterais:
Logo a soma vale
em
.
Passo 7
Gráficos:
- A função original em
é ímpar e estritamente crescente, com para e para . - A série converge a
para todo . - Fora de
ela se repete com período , sofrendo salto de ao passar por , mas sua soma nesses pontos é .