Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo ( -\pi, \pi ), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo ( x=-\pi, x=\pi ); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo ( -\pi, \pi )):
f(x)=\operatorname{senh} a x.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de \operatorname{sinh}(a x) no intervalo (-\pi,\pi), a soma da série nos pontos de descontinuidade (que ocorrem em x=\pm\pi) e a descrição do gráfico da função original e da série periodizada de período 2\pi.
Conteúdo que vamos usar: expansão em série de Fourier em (-\pi,\pi), observando que \operatorname{sinh}(a x) é função ímpar, e a fórmula para os coeficientes de seno
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\,\sin(n x)\,\mathrm{d}x
reduzida ao intervalo [0,\pi] quando f é ímpar.

Passo 2

Como \operatorname{sinh}(a x) é ímpar, temos a_0=0 e a_n=0 para todo n.
Só resta calcular
b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{sinh}(a x)\,\sin(n x)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\operatorname{sinh}(a x)\,\sin(n x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Usamos a representação \operatorname{sinh}(a x)=\tfrac{e^{a x}-e^{-a x}}{2} e a fórmula
\int e^{c x}\sin(n x)\,\mathrm{d}x = \frac{e^{c x}}{c^2+n^2}\bigl(c\,\sin(n x)-n\,\cos(n x)\bigr).
Então
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sinh}(a x)\sin(n x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2}\Bigl[I(a)-I(-a)\Bigr],
onde
I\text{(c)}=\int_{0}^{\pi}e^{c x}\sin(n x)\,\mathrm{d}x =\frac{e^{c\pi}\bigl(c\sin(n\pi)-n\cos(n\pi)\bigr)-\bigl(c\cdot0-n\cdot1\bigr)}{c^2+n^2}.

Passo 4

Como \sin(n\pi)=0 e \cos(n\pi)=(-1)^n, obtemos
I(a)=\frac{-n\,e^{a\pi}(-1)^n +n}{a^2+n^2}, \quad I(-a)=\frac{-n\,e^{-a\pi}(-1)^n +n}{a^2+n^2}.
Logo
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sinh}(a x)\sin(n x)\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2}\frac{-n(-1)^n\bigl(e^{a\pi}-e^{-a\pi}\bigr)}{a^2+n^2} =-\frac{n(-1)^n\operatorname{sinh}(a\pi)}{a^2+n^2}.
Multiplicando por 2/\pi vem
b_n =-\frac{2n(-1)^n\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi\,(a^2+n^2)} =\frac{2n(-1)^{n+1}\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi\,(a^2+n^2)}.

Passo 5

Portanto a série de Fourier é só em senos:
\operatorname{sinh}(a x) =\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(n x) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n\,(-1)^{n+1}\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi\,(a^2+n^2)}\, \sin(n x).

Passo 6

Nos pontos de descontinuidade da extensão periódica—em x=\pm\pi—a série converge para a média dos limites laterais:
\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)+\operatorname{sinh}\bigl(a(-\pi)\bigr)}2 =\frac{\operatorname{sinh}(a\pi)-\operatorname{sinh}(a\pi)}2 =0.
Logo a soma vale 0 em x=\pm\pi.

Passo 7

Gráficos:
  • A função original em (-\pi,\pi) é ímpar e estritamente crescente, com \operatorname{sinh}(a x)<0 para x<0 e \operatorname{sinh}(a x)>0 para x>0.
  • A série converge a \operatorname{sinh}(a x) para todo x\in(-\pi,\pi).
  • Fora de (-\pi,\pi) ela se repete com período 2\pi, sofrendo salto de \;2\operatorname{sinh}(a\pi) ao passar por x=\pm\pi, mas sua soma nesses pontos é 0.

Resposta

\operatorname{sinh}(a x) =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n\,(-1)^{n+1}\operatorname{sinh}(a\pi)}{\pi\,(a^2+n^2)}\, \sin(n x), \quad \text{série converge para }0\text{ em }x=\pm\pi.é

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