Desenvolver em séries de Fourier, no intervalo ( -\pi, \pi ), as funções seguintes; determinar a soma das séries nos pontos de descontinuidade e nos extremos do intervalo ( x=-\pi, x=\pi ); construir o gráfico da própria função e da soma da série correspondente (dentro e fora do intervalo ( -\pi, \pi )):
f(x)=\left\{\begin{array}{l}a x \text { quando }-\pi<x \leqslant 0, \\\ b x \text { quando } 0 \leqslant x<\pi .\end{array}\right.
Examinar os casos particulares: d) a=1, b=0.

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier de
f(x)= \begin{cases} a\,x,& -\pi<x\le0,\\\ b\,x,& 0\le x<\pi, \end{cases}
no intervalo (-\pi,\pi), bem como a soma da série nos pontos de descontinuidade x=0 e nos extremos x=\pm\pi, e o gráfico da função e da soma periódica. Para isso vamos usar as fórmulas clássicas
a_0=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\,dx,\quad a_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx,\quad b_n=\frac1\pi\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx.

Passo 2

Calculemos
a_0=\frac1\pi\Bigl[\int_{-\pi}^0a\,x\,dx+\int_0^\pi b\,x\,dx\Bigr] =\frac1\pi\Bigl[-\frac{a\pi^2}2+\frac{b\pi^2}2\Bigr] =\frac{\pi}{2}(b-a).

Passo 3

Para a_n integramos por partes em cada ramo. O resultado é
a_n =\frac1\pi\Bigl[a\,\frac{1-(-1)^n}{n^2}+b\,\frac{(-1)^n-1}{n^2}\Bigr] =\frac{(a-b)\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{\pi\,n^2}.
Em particular a_n=0 se n é par e a_n=\tfrac{2(a-b)}{\pi n^2} se n é ímpar.

Passo 4

Para b_n obtemos
b_n =\frac1\pi\Bigl[-a\pi\frac{(-1)^n}{n}-b\pi\frac{(-1)^n}{n}\Bigr] =-(a+b)\frac{(-1)^n}{n} =(a+b)\frac{(-1)^{n+1}}{n}.

Passo 5

A série de Fourier geral fica então
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\bigl[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\bigr],
ou explicitando:
\frac{b-a}{4}\,\pi +\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^\infty \frac{2(a-b)}{\pi n^2}\cos(nx) +\sum_{n=1}^\infty (a+b)\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).

Passo 6

A série converge para f(x) nos pontos de continuidade. Em x=0 temos
f(0^-)=a\cdot0=0,\quad f(0^+)=b\cdot0=0 \quad\Longrightarrow\quad \text{soma}=0.
Em x=\pm\pi (pontos equivalentes na extensão periódica) vale
f(-\pi^+)=a(-\pi)=-a\pi,\quad f(\pi^-)=b\pi \quad\Longrightarrow\quad \text{soma}=\frac{-a\pi+b\pi}2=\frac{(b-a)\pi}2.

Passo 7

Caso particular a=1\), \(b=0\): \[f(x)= \begin{cases} x,& -\pi<x\le0,\\\\ 0,& 0\le x<\pi. \end{cases}
Aqui a-b=1\], \[a+b=1 e a_0=(b-a)\pi/2=-\pi/2. Logo
a_n=\begin{cases} \frac{2}{\pi n^2},&n\text{ ímpar},\\\\ 0,&n\text{ par}, \end{cases} \qquad b_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}.í
A série vale
f(x)\sim -\frac{\pi}{4} +\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^\infty \frac{2}{\pi n^2}\cos(nx) +\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx).
Nos pontos descontinuidades: em x=0\] a soma é \(0; em x=\pm\pi é \tfrac{(0-1)\pi}2=-\tfrac\pi2.
O gráfico de f em (-\pi,\pi) é uma rampa que vai de (-\pi,-\pi) até (0,0) e depois fica igual a zero até \pi. A soma periódica repete esse padrão com quinas em k\pi.

Resposta

Para a=1,b=0:
f(x)\sim -\frac{\pi}{4} +\sum_{\substack{n=1\n\text{ ímpar}}}^\infty \frac{2}{\pi n^2}\cos(nx) +\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx),
com soma 0 em x=0 e -\tfrac\pi2 em x=\pm\pi. A função e sua soma formam uma rampa periódica de período 2\pi.

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